Verão no IM-UFRJ Geometria na UFRJ UFRJ


Quinzena de Geometria
30 de janeiro a 10 de fevereiro, 2017

Como parte da Escola de Verão do Programa de Pós-Graduação em Matemática na Universidade Federal do Rio de Janeiro, acontecerá um encontro sobre vários aspectos de geometria moderna. Teremos três mini-cursos e várias palestras.



Todos os eventos terão lugar na sala C119, no Bloco C do Centro de Tecnologia.

Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática, UFRJ,
Av. Athos da Silveira Ramos 149,
Centro de Tecnologia - Bloco C,
Cidade Universitária - Ilha do Fundão,
C.P. 68530, 21941-909 Rio de Janeiro,
RJ - Brasil
Programação (atualizada)
Resumos das Palestras
Organização: Maria Fernanda Elbert (fernanda at im.ufrj.br) e Andrew Clarke (andrew at im.ufrj.br)

Mini-cursos

Introdução à Geometria de Informação - Heudson Mirandola (UFRJ)

Geometria Generalizada - Thiago Drummond (UFRJ)

Geometria Twistorial - Mike Deutsch (UFRJ)

Palestrantes

Dragomir Tsonev (UFAM)
Ezequiel Barbosa (UFMG)
Gregório Pacelli Bessa (UFC)
Henrique Bursztyn (IMPA)
Henrique Sá Earp (Unicamp)
Joa Weber (Unicamp)
José Espinar (IMPA)
Paolo Piccione (USP)
Roberto Rubio (IMPA)
Sérgio Almaraz (UFF)


Resumos

Introdução à Geometria da Informação - Heudson Mirandola


Resumo: Geometria da Informação surgiu do estudo de alguns invariantes geométricos envolvidos na inferência estatística. Aqui, modelos estatísticos são vistos como variedades diferenciáveis e a matriz de informação de Fisher são métricas Riemannianas naturais sobre estas variedades, chamadas de métricas de Fisher-Rao. Como exemplo, considere o conjunto \( S \) das distribuições normais com média \(\mu \) e variância \(\sigma^2\), $$ p(x;\mu,\sigma) =\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right) $$ com \(x \in \mathbb{R}\). Os parâmetros \( (\mu,\sigma)\) fazem de \(S\) uma variedade diferenciável bidimensional e, munida com a métrica de Fisher-Rao, \(S\) é uma superfície completa de curvatura constante negativa. Conexões afins duais, em especial as conexões de Amari, aparecem naturalmente neste estudo e são interessantes, mesmo do ponto de vista puramente geométrico. Famílias exponenciais e mixturas aparecem como exemplos naturais de espaços dualmente flats, considerando as conexões de Amari. Aplicaremos este estudo sobre modelos estatísticos no estudo de inferência estatística, otimização e machine learning.

Pré-requisitos: Geometria Riemanniana básica. Mais especificamente, precisaremos apenas da noção de variedades diferenciáveis, métricas Riemannianas e conexões afins.

Conteúdo: 1. A métrica de Fisher-Rao sobre modelos estatísticos
2. Geometria dos modelos estatísticos sobre espaços amostrais finitos
3. Divergência de Kulback-Leibler e outras funções divergências
4. Misturas e famílias exponenciais
5. Os tensores de Amari e conexões afins duais
6. Variedades dualmente flats
7. O teorema pitagoreano e o EM algoritmo
8. Estatísticas suficientes e o Teorema de Chentov
9. Teorema de Cramer-Rao
10. Inferência estatística - Consistência e eficiência em alta ordem

Bibliografia:
Amari, Shun-Ichi, {Information Geometry and Its Applications}, Applied Mathematical, vol 194, Springer, 2016.
Amari, S.-I. and Nagaoka, H., {Methods of Information Geometry}, Translation of Mathematical Monographs, vol 191, Oxford Unversity Press, 2000.
Arwini, K. and Dodson, C., {Information Geometry - Near Randomness and Near Independence}, Lecture Notes in Mathematics, Springer, 2008.

Geometria Generalizada - Thiago Drummond


Resumo: Geometria generalizada é o termo utilizado para descrever diversas estruturas geométricas que podem ser descritas usando o fibrado \(T \oplus T^*\) juntamente com a extensão do colchete de Lie de campos de vetores introduzida por T. Courant em [3]. Dentre os exemplos mais proeminentes se destaca a geometria complexa generalizada [5]. Nesse formalismo, é possível unificar a geometria simplética e a geometria complexa, tornando a teoria atraente para aplicações na física teórica, especialmente em mirror symmetry. O objetivo do curso é apresentar a geometria generalizada tendo como foco o problema de redução dessas estruturas na presença de simetrias, conforme desenvolvido em [2, 4].

Ementa: • Geometria do fibrado \(T \oplus T^*\): colchete de Courant, \(B\)-fields. • Estruturas de Dirac. • Geometria complexa generalizada: tipo, descrição local, exemplos. • Espinores puros: geometria Calabi-Yau generalizada. • Simetrias: mapa momentos, redução de algebróides de Courant, redução generalizada.

Referências:
[1] Bursztyn, H., A brief introduction to Dirac manifolds. Geometric and topological methods for quantum field theory, 4–38, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2013.
[2] Bursztyn, H., Cavalcanti, G., Gualtieri, G., Reduction of Courant algebroids and generalized complex structures. Adv. Math. 211 (2007): 726765.
[3] Courant, T., Dirac manifolds. Trans. Amer. Math. Soc. 319 (1990), 631661.
[4] Drummond, T., Generalized reduction and pure spinors. J. Symplectic Geom. 12 (2014), 435–471.
[5] Gualtieri, M., Generalized complex geometry. Ann. Math. 174 (2011), 75123.


Geometria Twistorial - Mike Deutsch


Resumo: Em 1967, Penrose [8] mostrou que as equações de campo de massa zero no espaço de Minkowski 4-dimensional podem ser resolvidas utilizando integração de contorno na variedade complexa de raios de luz. No mesmo ano, Calabi [3] mostrou que superfícies mínimas no n-esfera podem ser construídas a partir de curvas holomorfas no fibrado de estruturas quase-hermitianas. A ideía comum nesses artigos, que tem antecedentes tão cedo que os trabalhos de Bateman e Weierstrass, e seria concretizada nas décadas posteriores por ambos físicos e matemáticos, é de expressar a geometria diferencial de uma variedade real em termos de dados holomorfos sobre algum objeto complexo auxiliar, tema o qual agora chamado “Teoria Twistorial”. A teoria produziu uma categoria importante de variedades complexas, com aplicações em vários problemas interessantes em geometria, incluindo: monopolos [5], instantons [1], morfismos harmônicos [4], [2], e métricas e estruturas conformes especiais [6], [7]. Neste curso, vamos definir os objetos básicos da teoria que diz respeito à geometria Riemanniana e dar um breve esboço de algumas destas aplicações.

Referências:
[1] M. Atiyah. Geometry of Yang-Mills fields. In Mathematical problems in theoretical physics (Proc. Internat. Conf., Univ. Rome, Rome, 1977), volume 80 of Lecture Notes in Phys., pages 216–221. Springer, BerlinNew York, 1978.
[2] P. Baird and J. C. Wood. Harmonic morphisms between Riemannian manifolds, volume 29 of London Mathematical Society Monographs. New Series. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 2003.
[3] Eugenio Calabi. Minimal immersions of surfaces in Euclidean spheres. J. Differential Geometry, 1:111– 125, 1967.
[4] J. Eells and S. Salamon. Twistorial construction of harmonic maps of surfaces into four-manifolds. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 12(4):589–640 (1986), 1985.
[5] N. J. Hitchin. Monopoles and geodesics. Comm. Math. Phys., 83(4):579–602, 1982.
[6] N. J. Hitchin. A new family of Einstein metrics. In Manifolds and geometry (Pisa, 1993), Sympos. Math., XXXVI, pages 190–222. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996.
[7] L. J. Mason and N. M. J. Woodhouse. Integrability, self-duality, and twistor theory, volume 15 of London Mathematical Society Monographs. New Series. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1996. Oxford Science Publications.
[8] R. Penrose. Twistor algebra. J. Mathematical Phys., 8:345–366, 1967.