4º Período

CÓDIGO:  MAE127 CRÉDITOS:  4 CARGA HORÁRIA:  60h
TEÓRICA: 45h
PRÁTICA: 15h
PRÉ-REQUISITOS:  
Cálculo II  (MAC 123)
Álgebra Linear II (MAE 125)
EMENTA:  
Equações diferenciais de 1a ordem e aplicações; Teoremas de Existência e Unicidade de Soluções;  Equações diferenciais lineares de 2a ordem e aplicações; Soluções por séries de potências; Transformada de Laplace; Sistemas Autônomos no plano.
OBJETIVOS GERAIS: 
Aprender como modelar, resolver e interpretar as soluções de fenômenos regidos por EDOs (equações diferenciais ordinárias).
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
UNIDADE  I  - Equações diferenciais de 1ª ordem
Modelos Simples; Equações separáveis; Equações lineares de primeira ordem; Equações exatas;aplicações
UNIDADE II – Propriedades gerais das equações
Aspectos geométricos, teoremas de existência de soluções, unicidade e dependência contínua
UNIDADE III – Equações diferenciais lineares de 2a ordem com coeficientes constantes
Soluções explícitas das equações homogêneas; método de variação de parâmetros e método de coeficientes a determinar; aplicações
UNIDADE IV- Equações diferenciais lineares de 2a ordem com coeficientes variáveis
Resolução de equações utilizando séries de potências; método de Frobenius; aplicações
UNIDADE V- Transformada de Laplace
Condições de Existência, Propriedades, Resolução de equações diferenciais lineares e de sistemas de equações diferenciais lineares; aplicações
UNIDADE VI - Sistemas Autônomos no plano
Pontos de Equilíbrio; Classificação; Aplicações
BIBLIOGRAFIA:
[1] Figueiredo, D G e Neves, A F – Equações Diferenciais Aplicadas
[2] Boyce & Diprima – Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno
CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO: Provas e trabalhos de acordo com os critérios do CCMN
APLICATIVO(S) SUGERIDO(S):  software Mathematica
CÓDIGO: MAA240 CRÉDITOS: 5,0 CARGA HORÁRIA: 90h
TEÓRICA: 60h
PRÁTICA: 30h
PRÉ-REQUISITOS:  
Álgebra I (MAA114),
Cálc.Dif. e Int I (MAC 118)
EMENTA: 
Construção dos números reais; Seqüências e séries numéricas; Topologia da reta; Limite e continuidade; Derivadas; Integral de Riemann.
OBJETIVOS GERAIS:
Habilitar o aluno a organizar axiomaticamente o material apresentado em cálculo diferencial de uma variável.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
UNIDADE  I 
Enumerabilidade; conceito de supremo e de ínfimo; construção dos números reais.
UNIDADE II 
Seqüências e séries numéricas: noção de limite, seqüência de Cauchy, teorema deBolzano-Weierstrass, critérios de convergência.
UNIDADE III 
Topologia da reta: caracterização dos subconjuntos compactos e dos subconjuntos conexos.
UNIDADE IV 
Limite e continuidade de funções reais de uma variável real e suas relações com a topologia da reta; Teoremas de Heine e de Weierstrass.
UNIDADE V 
O conceito de derivada; Teorema do Valor Médio; as classes Ck; fórmula de Taylor; funções analíticas na reta.
UNIDADE VI 
Integral de Riemann própria e imprópria; Teorema Fundamental do Cálculo; Teorema do Valor Médio para Integrais.
BIBLIOGRAFIA
[1] Figueiredo, D.G.   – Análise na reta
[2] Lima,E.L. – Análise I
CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO: Critério do CCMN
APLICATIVO(S) NECESSÁRIO(S): Sem aplicativos
CÓDIGO: MAD351 CRÉDITOS: 5 CARGA HORÁRIA: 90h
TEÓRICA: 60h
PRÁTICA: 30h
PRÉ-REQUISITOS: 
MAD233 – CÁLCULO DAS PROBABILIDADES I
EMENTA: 
Inferência indutiva. Distribuições amostrais. Estatísticas de ordem. Propriedades dos estimadores. Métodos de estimação pontual. Procedimentos Bayesianos. Estimação por intervalo e por região de confiança. Testes de Hipóteses.
OBJETIVOS GERAIS: 
Apresentar ao aluno conceitos fundamentais de inferência estatística e capacita-lo para resolver problemas de estimação pontual  e por intervalo.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
UNIDADE  I
Introdução à Inferência Estatística.
UNIDADE II 
Função de verossimilhança. Distribuição a priori. Distribuição a posteriori. Funções perda. Estimadores Bayesianos.
UNIDADE III 
Estimador de máxima verossimilhança. Propriedades de estimadores de máxima verossimilhança.
UNIDADE IV
Estatísticas suficientes. Teorema de fatoração. Estatísticas suficientes minimais.
UNIDADE V 
Propriedades freqüentistas de estimadores. Consistência. Erro quadrático médio. Estimadores não viciados.
UNIDADE VI 
Distribuição amostral de estatísticas.
UNIDADE VII 
Distribuições derivadas da distribuição normal. Distribuição de Qui-quadrado. Distribuição t de Student. Distribuição F de Snedcor.
UNIDADE VIII
Distribuição conjunta de média e variância amostrais.
UNIDADE IX
Intervalos de confiança e de credibilidade. Intervalos de predição.
BIBLIOGRAFIA:
  1. Morris H. DeGroot e Mark J. Schervish  (2002) Probability and Statistics (3rd Edition) Addison-Wesley.
  2. Bolfarine, H. e Sandoval, C. (2001). Introdução à Inferência Estatística. IMPA. Coleção Matemática Aplicada
  3. Mood, A. M., Graybill, F. A. e Boes, D.C. (1974). Introduction to the theory of Statistics.McGrawHill.
CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO: Testes e provas.
APLICATIVO(S) NECESSÁRIO(S): Exercícios numéricos podem ser resolvidos no pacote estatístico R.
CÓDIGO: MAD352 CRÉDITOS: 5 CARGA HORÁRIA: 90h
TEÓRICA: 60h
PRÁTICA: 30h
PRÉ-REQUISITOS: 
CÁLCULO DAS PROBABILIDADES I – MAD233
EMENTA: 
Espaços de probabilidade. Vetores aleatórios. Distribuição e esperança condicionais. Função geratriz e função característica. Teoremas limites.
OBJETIVOS GERAIS:
Habilitar o aluno a sintetizar informações que são ministradas com vistas à elaboração de conceitos mais complexos; resolver problemas simples usando raciocínio probabilístico.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
UNIDADE  I – Espaços de Probabilidade. Modelo matemático para um experimento (modelo probabilístico). Álgebra de eventos e s-álgebra de eventos: definição e propriedades.
Axiomas da probabilidade (s-aditividade), continuidade no vazio. Propriedades da probabilidade. Espaço de probabilidade: definição.
UNIDADE II – Vetores Aleatórios
Introdução: definição de uma variável aleatória, distribuição e propriedades. Funções de variáveis aleatórias: transformação de escala e posição, transformação integral da probabilidade. Caracterização adicional de variáveis aleatórias: momentos.
Vetores aleatórios de dimensão 2. Distribuição: definição e propriedades. O caso discreto: função de probabilidade conjunta, funções de probabilidade marginais e condicionais. O caso contínuo: função de densidade conjunta, funções de densidade marginais e condicionais. Variáveis aleatórias independentes.  Extensão para o caso de dimensão n≥2. 2.4 Distribuições especiais: Normalmultivariada e Multinomial
UNIDADE III – Funções univariadas das componentes de um vetor aleatório.
Soma e diferença de variáveis aleatórias independentes. Convolução.
Produto e Quociente de variáveis aleatórias.
UNIDADE IV – Distribuição conjunta de funções de variáveis aleatórias.
O método Jacobiano para o caso de dimensão 2. Exemplos.
Extensão para o caso de dimensão n≥2.
UNIDADE V – Distribuições Especiais
Distribuição de Qui-quadrado. Definição, propriedades e aplicações (independência da média e variância amostrais para amostras da normal).  Distribuição t: definição e propriedades.  Distribuição F: definição e propriedades.  Estatísticas de Ordem: definição e distribuições conjuntas e marginais, aplicações.
UNIDADE VI – Esperança.  

Definição Geral de Esperança.  Propriedades da Esperança.  Esperança Condicional: definição, propriedades. Cálculo da esperança e da variância por condicionamento (exemplos típicos: soma aleatória de variáveis aleatórias independentes).  Desigualdade de Jensen. Desigualdade de Tchebyshev

UNIDADE VII – Lei dos Grandes Números.
Tipos de Convergência: convergência em probabilidade e convergência quase certa.
Lei Fraca dos Grandes Números.  Lei Forte dos Grandes Números.  Exemplos.
UNIDADE VIII – Funções características, convergência em distribuição. 

Teorema Central do Limite. Funções características: definição e propriedades.  Convergência em distribuição: definição e alguns resultados.  Teorema Central do Limite: para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas.  Teorema Central do Limite para variáveis aleatórias independentes (condição deLindeberg, Liapounov).  Aplicações.

BIBLIOGRAFIA:
[1] James, B. (1981). Probabilidade: um curso em nível intermediário. IMPA. Projeto Euclides.
[2] Magalhães, M. N. (2004). Probabilidade e Variáveis Aleatórias. Ed. Universidade de São Paulo.
[3] Hoel, P.G. e Stone, C. J. (1978). Introdução à Teoria da Probabilidade. Editora Interciência.
[4] Ross, S. (1997). Introduction to Probability Models. Sixth Edition. Academic Press.
CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO: Exercícios, testes e provas.
APLICATIVO(S) NECESSÁRIO(S):
CÓDIGO: MAD365 CRÉDITOS: 4 CARGA HORÁRIA: 60h
TEÓRICA: 45h
PRÁTICA: 15h
PRÉ-REQUISITOS: 
MAD233 CÁLCULO DAS PROBABILIDADES I
PROGRAMA DA DISCIPLINA
EMENTA: 
Como se modifica uma população. Indicadores Estatístico–Demográficos e Taxas de fecundidade.  Medidas de mortalidade. Construção de tábuas. Teoria populacional.
OBJETIVOS GERAIS: 
Habilitar o aluno para o estudo das populações humanas e a construção e utilização de tábuas de vida.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
UNIDADE I 
Como se modifica uma população: Conceito de população, migração e crescimento populacional.
UNIDADE II
Indicadores Estatístico-Demográficos e Taxas de Fecundidade: Razão, proporção e taxa. Razão de masculinidade e razão de dependência. Taxas de natalidade e mortalidade. Fecundidade e fertilidade. Taxas brutas de fecundidade e de fecundidade específicas por idade.
UNIDADE III 
Medidas de Mortalidade: A função de sobrevivência. A tábua de mortalidade. A força de mortalidade. Distribuição uniforme de mortes: método para idades fracionadas. Leis de mortalidade: De Moivre, Gompertz, Makeham, Weibull. Tábuas seletas.
UNIDADE IV 
Construção de Tábuas: Coleta, fontes de erros e suas correções. Modelo binomial de mortalidade. Graduação. Comparação entre a experiência real e a esperada.
UNIDADE V
Teoria Populacional: Taxa central de mortalidade. Expectativa de vida geral e por grupos. População estacionária: Grupo de sobrevivência, idades médias, diagrama de Lexis. População estável: fundamentos, taxa de crescimento, aplicações. Métodos de projeção populacional: inter-censo, pós-censo, curva logística, método das componentes.
BIBLIOGRAFIA
Livro Texto:
[1] Bowers, Gerber, Hickman, Jones and Nesbitt (1997). Actuarial Mathematics. N. Martingale RD. ,Society of Actuaries.
[2] Jordan, C.W (1967). Society of Actuaries’ Textbook on Life Contingencies. Illinois, Society of Actuaries.
Complementar:
[1] A história das populações: Coale, Ansley. The History of Human Population.
Scientific American, 231 (3), 1974, pp.41-51.
[2] Demography through Problems by N. Keyfitz and J.A. Beekman; publishers:
Springer-Verlag
[3] Introduction to the Mathematics of Population by N. Keyfitz; publishers:
Addison-Wesley
CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO: Provas e trabalhos.
APLICATIVO(S) NECESSÁRIO(S): É recomendável a utilização de planilhas eletrônicas para a resolução de casos e/ou exercícios similares a situações reais.