Ementas das Disciplinas



MAA246 - Teoria de Anéis

Pré-requisitos: MAA116 - Fundamentos de Matemática

Carga Horária: 60h = 45h teóricas + 15h práticas

Créditos: 4

Ementa: Anéis e subaneis, domínios e corpos; Ideais, ideais principais e ideais maximais; Aneis de polinômios; Domínios euclidianos e seus ideais; Domínios de ideais principais e Aneis fatoriais; Quociente de um anel por um ideal; Corpo de frações de um domínio; Homomorfismos de anéis; Anel de coordenadas de um conjunto algébrico; Teorema dos Zeros de Hilbert; Aplicações.

Objetivos Gerais: Introduzir nocões básicas da Teoria de Anéis, como subanel, ideal e anel quociente, através das suas aplicações aos anéis de polinômios e seus anéis quocientes.

Conteúdo Programático:

  1. Definições de anel, domínio, corpo e subanel; Exemplos de anéis: inteiros, racionais, reais e complexos;
  2. Polinômios sobre um anel;Definição de domínio euclidiano;Exemplos de domínios euclidianos: inteiros, polinômios em uma variavel sobre um corpo, inteiros de Gauss;
  3. Definição de ideal, ideal principal e ideal máximal; Quociente de um anel por um ideal, inteiros módulo n;Todo ideal de um domínio euclidiano é principal; domínios de ideais principais.
  4. Anéis de polinômios em mais de uma variável contêm ideais cujo número mínimo de elementos é tão grande quanto desejado; Elementos irredutíveis de um domínio de ideiais principais e ideais máximos;
  5. Anéis fatoriais;Domínios euclidianos são fatoriais;Corpo de frações de um domínio, corpo de funções racionais;Anéis de polinômios sobre um anel fatorial são fatoriais;
  6. Homomorfismos de anéis: núcleo e imagem;Teorema do homomorfismo;
  7. Conjuntos algébricos e anéis de coordenadas de conjuntos algébricos; Parametrização de conjuntos algébricos e homomorfismos de anéis; A cúbica afim y^2=x3-x não admite parametrização racional;
  8. Nem toda curva do espaço afim em três dimensões é interseção completa; Teorema dos Zeros de Hilbert;
  9. Relação entre pontos do espaço afim e ideais máximos de um anel de polinômios sobre os complexos.

Bibliografia:

  1. Artin, M. Algebra. New Jersey: Prentice-Hall, 1991.
  2. Dummit, David Steven; Foote, Richard M. Abstract Algebra, c2004.
  3. Herstein, I. N., Tópicos de álgebra. São Paulo : Edusp, 1970.

Bibliografia complementar:

  1. Garcia, Arnaldo; Lequain, Yves. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, c2002.
  2. Hungerford, Thomas W. Algebra, C1974.

Critério de Avaliação: Critério do CCMN.