Pré-requisitos: MAE 125 - Álgebra Linear II, MAC 233 - Cálculo III.

Carga Horária: 60h = 45h teóricas + 10h práticas

Créditos: 4

Objetivos Gerais: Estudo das curvas e superfícies, utilizando como ferramentas os conhecimentos do cálculo diferencial e integral e da álgebra linear.

Critério de Avaliação: Critérios do CCMN.

Ementa: Curvas planas; Fórmulas de Frenet. Curvas no espaço; Teorema Fundamental das curvas em R³. Teoria local das superfícies: superfícies parametrizadas em R³; plano tangente; primeira forma fundamental; aplicação normal de Gauss; segunda forma fundamental; curvaturas média e gaussiana; classificação de pontos na superfície; linhas de curvatura; linhas assintóticas; geodésicas; Teorema Egregium de Gauss; Equações de Gauss e Mainardi-Codazzi; Teorema de Bonnet, Teorema de Gauss-Bonnet.

01. Curvas Planas: Curvas Planas Parametrizadas – Exemplos; Vetor Tangente; Curvas Regulares; Mudança de Parâmetros – Comprimento de Arco; Teoria Local das Curvas Planas – Curvatura – Fórmulas de Frenet; Teorema Fundamental das Curvas Planas.

02. Curvas no Espaço: Curvas Parametrizadas – Exemplos – Vetor Tangente – Curvas Regulares; Teoria Local das Curvas Espaciais – Curvatura e Torção – Fórmulas de Frenet; Representação Canônica das Curvas em R³; Isometrias de R³– Teorema Fundamental das Curvas em R³.

03. Teoria Local das Superfícies: Estudo da Circunferência; Superfícies em R³ – Definição e Exemplos – Superfícies Parametrizadas; Plano Tangente – Vetor Normal; Primeira Forma Fundamental – Área – Comprimento de Arco; Aplicação Normal de Gauss; Segunda Forma Fundamental – Curvatura Normal; Curvaturas Principais – Direções Principais; Curvatura Gaussiana e Curvatura Média; Classificação dos Pontos de Uma Superfície – Pontos Umbílicos; Linhas de Curvatura e Linhas Assintóticas – Equações Diferenciais das Linhas de Curvatura e das Linhas Assintóticas; Geodésicas; Teorema Egregium de Gauss; Equações de Mainardi-Codazzi e de Gauss.

04. O Teorema de Gauss-Bonnet e aplicações.

1. Araújo, P.V. – Geometria Diferencial – IMPA.
2. Carmo, M. P. – Geometria Diferencial de Curvas e superfícies - IMPA.
3. Struik, D.J– Geometria Diferencial Clássica -Aguilar.
4. Tenenblat, K. – Introdução à Geometria Diferencial – UNB.