DISCIPLINA: GEOMETRIA II

CÓDIGO: MAC227

CRÉDITOS: 4

CARGA HORÁRIA: 60h

 

 

TEÓRICA: 45h

 

 

PRÁTICA: 15h

PRÉ-REQUISITOS: Geometria I (MAC 117) e Álgebra Linear II (MAE 125)

EMENTA: Tentativas de Prova do quinto Postulado de Euclides; Axioma Hiperbólico e consequências; Paralelismo assintótico; Triângulos generalizados; Posições entre retas; Áreas de triângulos; Horocírculos e Linhas Eqüidistantes; Modelo do semi-plano de Poincaré ou do disco; Breve introdução de outras geometrias.

OBJETIVOS GERAIS: Estudo axiomático de uma geometria não euclidiana: Geometria Hipérbólica e introdução a outras geometrias não euclidianas.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

UNIDADE  I  -  Tentativas de Prova do V Postulado de Euclides: A Geometria Neutra; O Quadrilátero de Saccheri (Ângulos do Topo e Comparações de Comprimento de Lados de Quadriláteros Com Dois Ângulos Retos); O Quadrilátero de Lambert; Resultados de Legendre Sobre a Soma dos ângulos Internos de Um Triângulo; Algumas Equivalências ao V Postulado de Euclides;
UNIDADE II - Axioma Hiperbólico e Suas Primeiras Conseqüências: Soma dos Ângulos Internos de Um Triângulo (Introdução ao Conceito de Defeito de Um Triângulo);

O Quarto Ângulo do Quadrilátero de Lambert; Ângulos do Topo do Quadrilátero de Saccheri; A Não Existência de Semelhança;

UNIDADE III - Paralelismo Assintótico: Unicidade (Numa Direção); Relações Simétrica e Transitiva do Paralelismo Assintótico; Ângulo de Paralelismo; Variação de Distância Entre Retas Paralelas (Assintóticas); Triângulos Generalizados; Pontos Ideais de Uma Reta; Propriedades dos Triângulos Generalizados; Congruência de Triângulos Generalizados;
UNIDADE IV - Posições Entre Retas: Pontos Untra-Ideais; Possíveis Pontos de Interseção de Um Conjunto de Retas; Variação de Distância Entre Retas; Construção de Uma Paralela Assintótica; Relações em Um Triângulo Retângulo; Relações em Um Quadrilátero de Lambert;
UNIDADE V - Áreas: Relação Entre Área e Defeito; Áreas de Triângulos Com Vértices Ideais;
UNIDADE VI - Horocírculos e Linhas Eqüidistantes:
UNIDADE VII - Modelo do Semi-Plano de Poincaré ou do Disco: Definição da Distância Entre Dois Pontos Nesse Modelo; Retas do Ambiente (Idéia das Geodésicas); Visualização nos Modelos de Todas as Propriedades Estudadas; Construções; Breve introdução de outras geometrias.

BIBLIOGRAFIA

[1]Barbosa, J.L.M. – Geometria Hiperbólica, IMPA

[2]Greenberg, M.J. – Euclidean and non-euclidean Geometries, N.Y., W.H. Freeman and company,3ed,1993

[3]Moise, E. Elementary Geometry from na Advanced Standpoint, 3.ed. Addison-Wesley,1990

CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO: Provas e trabalhos de acordo com os critérios do CCMN

APLICATIVO(S) SUGERIDO(S):