DISCIPLINA:  Funções Complexas

CÓDIGO: MAA 353

CRÉDITOS: 5,0

CARGA HORÁRIA: 90h

 

 

TEÓRICA: 70h

 

 

PRÁTICA: 20h

PRÉ-REQUISITOS: Álgebra II (MAA233),Cálculo III (MAC233)

EMENTA: Números Complexos. Funções Analíticas; Funções elementares. Integrais. Séries de potências. Resíduos e polos. Transformações por funções elementares.

OBJETIVOS GERAIS:

Dar uma visão de conjunto da teoria elementar das funções analíticas de uma variável complexa e de suas aplicações, buscando proporcionar aos estudantes uma compreensão desta teoria e de suas técnicas.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

UNIDADE  I  - Números Complexos:

Definição, operações e propriedades. Representação geométrica. Números complexos conjugados. Valor absoluto. Forma polar. Produtos, potências e quocientes, Fórmula de Moivre. Extração de raízes. Topologia do plano complexo.

UNIDADE II – Funções Analíticas:

Função de uma variável complexa. Limites. Continuidade. Derivadas: condições de Cauchy-Riemann e condições suficientes de derivabilidade. Funções analíticas. Funções harmônicas.

Funções Elementares:

A função exponencial. Funções trigonométricas e hiperbólicas. A função logarítmica. Expoentes complexos. Funções trigonométricas inversas.

UNIDADE III – Integrais:

Integrais indefinidas. Caminhos e integrais curvelíneas. O teorema de Cauchy-Goursat. A Fórmula Integral de Cauchy. Derivadas de funções analíticas. O Teorema de Liouville. O Teorema do Módulo Máximo. Integrais indefinidas. O Teorema de Morera.

UNIDADE IV – Séries de Potências :

Noções básicas sobre seqüências e séries complexas. Séries de Taylor e de Maclaurin. Série de Laurent. Propriedades de séries de potências. Convergência uniforme. Integração e derivação de séries de potências. Unicidade de representação. Zeros de funções analíticas.

UNIDADE V –Resíduos e Polos:

Resíduos. O Teorema dos resíduos. Polos. Quocientes de funções analíticas Aplicações:
Cálculo de integrais através de resíduos.
Integração em torno de um ponto de ramificação.

UNIDADE VI –Transformações por Funções Elementares :

Funções lineares. As funções zn  ,  1/z  ,  z1/2  ,exp z  e  sem z . Ponto no infinito. Transformações lineares fracionárias.

BIBLIOGRAFIA

[1] Churchill, R.V. – Variáveis Complexas e suas aplicações – editora da USP.

[2] Gamelin, T.W.-Complex Analysis – Springer.

[3] Hille, E.– Analytic Function Theory, Vol.I – CHELSEA Publ. Co.

[4] Honig, C.H. – Introdução às Funções de uma Variável Complexa – Publicação do IME/USP.

[5] Howie, M.H. – Complex Analysis – Springer.

[6] Soares, M. – Cálculo em uma Variável Complexa

CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO: Critério do CCMN

APLICATIVO(S) NECESSÁRIO(S):Sem aplicativos