Cálculo Avançado III - Análise Complexa

Para os cursos de mestrado em Matemática Aplicada e Matemática

Livro-texto: Complex Analysis, Elias Stein & Rami Shakarchi

  • 2015/1
    • Planejamento do curso
    • Aula 0: uma breve história da análise complexa
    • Aula 1: revisão de análise real, números complexos, funções holomorfas
    • Aula 2: revisão de convergência uniforme, séries de potências
    • Aula 3: revisão de integrais, integrais de linha e funções holomorfas
    • Lista 1: Capítulo 1 para dia 25 de Março
      • Aula 1: Exercícios 1, 3, 4, 7, 10, 12, 13
      • Aula 2: Exercícios 14, 15, 19; 20, 21, 22
      • Aula 3: Exercício 24
    • Aula 4: revisão do capítulo 1, Teorema Integral de Cauchy
    • Aula 5: ponto fixo de Picard para EDOs; fórmula integral de Cauchy, desigualdades de Cauchy
    • Aula 5bis: revisão TIC e FIC; homotopia, integrais de caminho e continuação analítica
    • Aula 6: revisão do TIC e FIC; Teorema de Morera e construindo funções holomorfas
    • Lista 2: Capítulo 2 para dia 8 de Abril
      • Aula 4: Exercícios 1, 2, 3; Problema 1
      • Aula 5: Exercícios 7, 9, 11, 12
      • Aula 5bis: Exercícios 4 (não use integrais de caminhos), 13
      • Aula 6: Exercício 15; Problema 3
    • Revisões de início de aula dos 2 primeiros capítulos
    • Aula 7: revisão do capítulo 2; Zeros e pólos: Forma normal das aplicações holomorfas, resíduos, prolongamento de Riemann.
    • Aula 8: revisão de zeros e pólos; A esfera de Riemann
    • Aula 9: revisão da construção de funções holomorfas; Homotopia, Princípio do Argumento.
    • Aula 10: revisão de homotopia; Logaritmo.
    • Lista 3: Capítulo 3 para dia 29 de Abril
      • Aula 7: Exercícios 1, 3 (use-o para calcular o 4), 8 (use-o para calcular o 7), 11, 12
      • Aula 8: Exercícios 13, 14; Problema 5
      • Aula 9: Exercícios 15, 16, 19, 22
      • Aula 10: Exercício 20; Problema 2
      • Bônus: Exercício 9, Problema 1
    • Aula extra: revisão dos capítulos 1 a 3; fórmulas de resíduos.
    • Aula 11: Transformada de Fourier, fórmula de somatório de Poisson.
    • Aula 12: revisão do TFA para frações racionais; Fórmula de Jensen, Ordem, Produtos infinitos, fórmula de produto para o seno.
    • Lista 4.5: Capítulos 4 e 5 para dia 22 de Maio
      • Aula 11: Exercícios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (Cap 4)
      • Aula 12: Exercícios 1, 2, 3, 6, 7 (Cap 5)
    • Aula 13: revisão de produtos infinitos; Produtos canônicos de Weierstrass, fatoração de Hadamard.
    • Aula 14: A função gamma
    • Aula 15: A função zeta de Riemann: continuação analítica
    • Aula 16: A função zeta de Riemann: estimativas e produto de Euler
    • Lista 4,5,6: Capítulos 4, 5 e 6 para dia 4 de Junho
      • Cap 4: Exerícios 8, 10; Problemas 1 e 2
      • Cap 5: Exercícios 5, 8, 10, 11, 13; Problemas 1 e 4
      • Cap 6: Exercícios 1, 10, 11, 15
    • Aula 17: Funções biperiódicas, construção da função p de Weierstrass
    • Aula 18: Corpo das funções biperiódicas, equação diferencial de p
    • Aula 19: Revisão local vs global; Aplicações conformes, exemplos
    • Aula 20: Lema de Schwarz e a classificação de Aut(D)
    • Lista 8: Capítulo 8 para dia 22 de Julho
      • Cap 8: Exercícios 2, 3, 4, 10, 12, 13, 15, 21; Problema 3
  • 2014/1
    • Planejamento do curso
    • Aula 0: uma breve história da análise complexa
    • Aula 2: integrais de caminhos, séries de potências
    • Lista 1: Capítulo 1 para dia 21 de Fevereiro
      • Aula 1: Exercícios 1, 3, 4, 7, 10, 12, 13
      • Aula 2: Exercícios 16; 14, 15, 19; 20, 21, 22; 25
    • Aula 3: teoremas de Goursat e Cauchy
    • Aula 4: fórmula integral de Cauchy, aplicações; continuação analítica
    • Aula 5: teorema de Morera, reflexão de Schwarz
    • Aula 6: teorema de aproximação de Runge, pólos
    • Lista 2: Capítulo 2 para dia 10 de Março
      • Aula 3: Exercícios 1, 2, 3, 4; Problema 1
      • Aula 4: Exercícios 4 (dê outra demonstração), 7, 9; Problema 3
      • Aula 5: Exercícios 11, 12, 13, 15; Problema 4
    • Aula 7: fórmula de resíduos
    • Aula 8: singularidades isoladas: Riemann, Casorati-Weierstrass
    • Aula 9: princípio do argumento, homotopia
    • Aula 10: domínios simplesmente conexos, logaritmos; transformada de Fourier
    • Lista 3: Capítulo 3 para dia 31 de Março
      • Aula 7: Exercícios 1, 3 (use-o para calcular o 4), 8 (use-o para calcular o 7), 11, 12
      • Aula 8: Exercícios 13, 14; Problema 5
      • Aula 9: Exercícios 15, 16, 19, 22
      • Aula 10: Exercício 20; Problema 2
      • Bônus: Exercício 9, Problema 1
    • Aula 11: Fórmula de somatório de Poisson, Fórmula de Jensen, zeros e crescimento.
    • Aula 12: Produtos infinitos, fórmula de produto para o seno.
    • Aula 13: Revisão e exercícios.
    • Aula 14: Ordem, produtos canônicos de Weierstrass, fatoração de Hadamard.
    • Lista 5: Capítulo 5 para dia 30 de Abril
      • Exercícios 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 16; Problema 1
    • Aula 15: A função gamma
    • Aula 16: A função zeta de Riemann
    • Apresentação: Ivani Ivanova (Teorema de Phragmén-Lindelöf)
    • Aula 17: A função p de Weierstrass
    • Aula 18: A função p de Weierstrass: séries de Eisenstein e modularidade; fórmula de adição
    • Lista 9: Exercícios sobre a função p de Weierstrass Dois roteiros de demonstração:
      • Análise: fórmulas de adição via cancelamento de zeros.
      • Álgebra: rigidez das curvas elípticas, e a fórmula de adição.
    • Aula 19: A função Theta de Jacobi: definição, produto infinito, modularidade
    • Aula 20: A função Theta de Jacobi: o teorema de somas de dois quadrados
    • Apresentação: Aloízio Tadeu (O Teorema dos números primos - I)
    • Aula 21: Aplicações conformes, definições, exemplos
    • Aula 22: Exercícios do capítulo 5
    • Apresentação: Aloízio Tadeu (O Teorema dos números primos - II)
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