Problemas IV

alias Analytic Combinatorics

Para os cursos de graduação em Matemática Aplicada e Engenharias.

Livro Texto: Analytic Combinatorics, Philippe Flajolet & Robert Sedgewick

Motivação

Este curso se propõe estudar os capítulos iniciais do livro "Analytic Combinatorics", desenvolvendo a teoria de séries formais necessária para abordar problemas assintóticos de combinatória. Ou seja, mesmo que não sendo capazes de dar uma fórmula fechada para uma questão de contagem particular, vamos ter ferramentas poderosas o suficiente para estudar o comportamento em grande escala destes objetos combinatórios, às vezes obtendo resultados que não seriam evidentes através da própria fórmula fechada. Uma das outras ferramentas diretamente associada ao uso de séries formais será a teoria de funções complexas (analíticas ou meromorfas, ou seja, com pólos), que nos dará a ocasião de mostrar a interação entre uma área discreta (combinatória) e outra contínua (análise).

O estudo em si das séries formais deve, além disso, abrir novos caminhos de solução para problemas "bem-conhecidos", mas para os quais não se tinha, necessariamente, um ferramental poderoso o suficiente para resolvê-los diretamente. Vamos tentar, sempre que possível, indicar ao longo do desenvolvimento da teoria quais novos campos podem se abrir, desde o Cálculo Diferencial (por exemplo para explicitar derivadas de funções analíticas) até a Álgebra pura (por exemplo para demonstrar teoremas sobre anéis não-comutativos).

Pré-requisitos

Mesmo que, oficialmente, não haja pré-requisitos, espera-se alguma maturidade matemática dos alunos. Principalmente, vamos usar integrais e derivadas quando necessário, iremos falar de funções de variáveis complexas (mas não exigiremos prova destes resultados) e ocasionalmente soluções de equações diferenciais elementares.

Ementa-alvo

Seguindo aproximadamente a estrutura do livro, vamos estudar os capítulos 1, 2, 4 e 5 (havendo tempo).

  • Estruturas combinatórias simples e funções geratrizes
  • Estruturas combinatórias com marcadores e funções geratrizes de tipo exponencial
  • Funções geratrizes e análise complexa
  • Estudo assintótico de funções complexas, aplicações às funções geratrizes
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