Função Linear Afim - Equação de Retas

A função [Maple Math]

Como foi visto no Exemplo 2 do capítulo Funções e Gráficos, a função h(t) que fornece o nível da água na caixa d'água para qualquer instante de tempo t , pode ser representada graficamente por uma reta.

De um modo geral, o gráfico cartesiano de uma função da forma [Maple Math] é representado por uma reta não vertical de equação:

(1) [Maple Math]

Neste caso, diz-se que a função [Maple Math] + b é uma função linear afim.

Observe, abaixo, gráficos da função [Maple Math] para b=0 e m = 1 , 2 -2 , -0.5 , respectivamente.

[Maple Plot]

Observe a animação abaixo, para descobrir o que acontece com a família de retas [Maple Math] quando a constante m, tomada como parâmetro, varia?

[Maple Plot]

Abaixo estão traçados gráficos de funções do tipo y=mx+b para m =1 e b = 1 , -1 e 0 .

[Maple Plot]

Observe a animação abaixo, para descobrir o que acontece com a família de retas [Maple Math] , quando a constante b , tomada como parâmetro , varia?

[Maple Plot]

A constante b chama-se coeficiente linear ou interseção y da reta [Maple Math] e a constante m é chamada de inclinação, declividade ou coeficiente angular dessa reta .

Interpretação geométrica do Coeficiente angular de uma reta

Consideremos dois pontos ( [Maple Math] ) e ( [Maple Math] ) pertencentes a mesma reta [Maple Math] . Temos então que [Maple Math] e [Maple Math] . Dessas duas equações é possível encontrar o valor de m em função de [Maple Math] . De fato, daí segue que:

m = [Maple Math] .

Esta última expressão pode ser interpretada geometricamente, como a tangente do ângulo que a reta [Maple Math] faz com o eixo x . Veja o gráfico abaixo.

[Maple Plot]

Do gráfico acima também concluímos que:

(2) m = [Maple Math] = [Maple Math]

Outras formas de representação de uma reta

De um modo geral, toda reta é o gráfico de uma equação linear em x e y. Em outras palavras, o gráfico de uma equação da forma

(3) Ax+By+C=0

onde as constantes ou parâmetros A e B não são ambos nulos, é a representação de uma reta no plano cartesiano. Esta equação é chamada equação geral da reta.

De fato, qualquer reta pode ser obtida como o conjunto de pontos P(x,y) do plano, equidistantes de dois pontos fixos e distintos, [Maple Math] e [Maple Math] , como é mostrado no desenho abaixo:

[Maple Plot]

Assim, toda reta é o gráfico da condição [Maple Math] , onde [Maple Math] é um ponto qualquer sobre a reta. Usando a fórmula de distância entre dois pontos temos:

[Maple Math]

que é equivalente a:

[Maple Math]

Expandindo a expressão anterior e operando-a algebricamente segue que:

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

Fazendo, na expressão anterior, [Maple Math] , [Maple Math] e [Maple Math] obtemos a equação (3).

De (2) resulta que:

(4) [Maple Math]

Esta equação é conhecida como a equação da reta que passa pelos pontos ( [Maple Math] ) e ( [Maple Math] ).

De (3) também deduz-se que:

(5) [Maple Math]

Esta é a equação da reta que contém o ponto ( [Maple Math] ) e tem declividade m .

Desta última fórmula, tomando-se [Maple Math] que é o ponto onde a reta corta o eixo y , obtemos:

[Maple Math]

isto é

(6) [Maple Math]

que é a equação da reta dada na forma (1), chamada equação reduzida da reta.

Para você meditar: O gráfico da função [Maple Math] é sempre uma linha reta ?

Sabemos que, num sistema de coordenadas cartesianas, podemos identificar qualquer ponto do plano com um par de números da seguinte maneira: dadas duas retas perpendiculares fixas e orientadas, ditas eixo x e eixo y , a coordenada x ou abscissa de um ponto P é a distância desse ponto ao eixo y , e a coordenada y ou ordenada de P é a distância desse ponto ao eixo x . Isto é, se P tem coordenadas x e y esses números representam as distâncias de P em relação aos eixos y e x , respectivamente.

Sabemos, também, que o gráfico de uma função [Maple Math] é o conjunto de pontos no plano que satisfazem esta relação, isto é, os pontos que pertencem ao gráfico de uma função são os pontos do plano da forma ( [Maple Math] ).

Assim, num sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico da função [Maple Math] é uma reta que pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos eixos. Do mesmo modo, o gráfico da função [Maple Math] é a reta definida como o lugar geométrico dos pontos cuja distância y , ao eixo x , é duas vezes a sua distância ao eixo y . Repare que, neste sistema, as distâncias são medidas a partir de retas paralelas aos eixos coodenados. Veja a figura abaixo onde traçamos, em conjunto, os gráficos das funções [Maple Math] , [Maple Math] e a malha retangular usada, neste sistema de coordenadas, para medir as distâncias.

[Maple Plot]

Vamos, agora, mudar o sistema de coordenadas. Ao invés de duas retas perpendiculares, vamos considerar um ponto e uma reta fixa. O ponto fixo será chamado foco e a reta fixa diretriz e o sistema de coordenadas será chamado foco-diretriz.

Repare que, enquanto no sistema de coordenadas cartesianas as distâncias são medidas por retas paralelas aos eixos coordenados, neste sistema as distâncias serão medidas por retas paralelas à diretriz e circunferências concêntricas ao foco. Veja a malha coordenada desenhada abaixo.

[Maple Plot]

No capítulo Sistemas de Coordenadas , vimos um outro sistema coordenado, chamado Sistema de Coordenadas Polares, definido a partir de uma reta fixa ( eixo polar) e de um ponto fixo ( polo ), sobre essa reta. A coordenada x de um ponto, neste sistema, é definida como o ângulo que o raio que une o ponto ao polo faz com o eixo polar e a coordenada y , como a distância do ponto ao polo.

Exercícios

Problemas

Dúvidas e sugestões:

 

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