Funções Quadráticas

Módulo III - Capítulo I
Aprendendo

Funções Quadráticas

Motivação

Um grupo de amigos resolveu montar um pequeno negócio para estampar camisetas. Para tornar este negócio rentável é preciso levantar os custos de produção e conhecer o número provável de camisetas vendidas. Esta última estimativa pode ser obtida por meio de uma pesquisa de mercado e depende do preço de venda de cada camiseta.

O grupo identificou e levantou os seguintes custos:

Preço de aquisição da prensa para estamparia	R$ 1250,00
Preço das camisetas brancas no atacado	R$ 5,00 (cada)
Custo para estampar cada camiseta	R$ 2,00

Agora é com você!

Determine o custo C para estampar x camisetas.

Resposta

O grupo também levantou dados junto a outros fabricantes de camiseta para ajudar a decidir o preço apropriado para a venda das camisetas. Para simplificar, vamos admitir que não existe competidores na região onde a fábrica será instalada. Dessa maneira, quanto mais baixo o preço de venda, maior o número de vendas efetuadas, isto é, o preço de venda pode ser determinado em função do número de camisetas que se espera vender. Os dados da tabela ao lado resumem a situação.

Estimativa de Vendas (Número Mensal de camisetas)	Preço por Camiseta
500	R$17,50
900	R$15,50
1300	R$ 13,50
1700	R$ 11,50
2100	R$ 9,50
2500	R$ 7,50

Agora é com você!

(a) De acordo com os dados apresentados, verifique que o preço de venda P de x camisetas por mês é dado pela função P(x) = 20 - 0,005 x .

(b) Ache a renda bruta obtida pelo negócio em função do número x de camisetas vendidas em um mês.

Para responder aos dois itens abaixo considere que toda a produção da fábrica é vendida.

(d) Ache o número mínimo de camisetas a serem vendidas para que o custo de estampá-las se iguale a renda obtida com a sua venda, isto é, ache o número de camisetas produzidas (e vendidas) a partir do qual a fábrica começa a apresentar lucro.

(e) Quantas camisetas devem ser produzidas para que o lucro da fábrica seja o maior possível?

Análise e Comentários

(a) Analisando os dados da tabela fornecida vemos que = - 0,005.

Isto indica que a tabela pode ser modelada por uma função afim cujo gráfico é uma reta de declividade - 0,005. Assim, P(x) = -0,005 x + b . Para calcular b , basta observar que o ponto (500; 17,50) pertence a esta reta. Assim, temos que 17,50 = -0,005 ´ 500 + b e daí, resolvendo a equação, encontramos para b o valor de 20.

(b) Como o preço de venda de cada camiseta é dado por P( x ) = 20 - 0,005 x , a renda total mensal R, obtida pela venda de x camisetas será dada por R( x ) = (20 - 0,005 x ) x = 20 x - 0,005 .

(c) O lucro mensal (ou prejuízo) L, obtido com a venda de x camisetas, será dado por L( x ) = R( x ) - C( x ). Pelos itens anteriores, obtemos que L( x ) = -0,005 +13 x - 1250.

(d) No quadro ao lado estão traçados, em conjunto, os gráficos das funções R e C. Repare que, no contexto do problema apresentado, o domínio destas funções é o conjunto dos números naturais. No entanto, para simplificar, os gráficos destas funções são traçados como uma linha contínua. (Repare que esta simplificação é razoável pois, para um grande número de camisetas produzidas, a variação de uma unidade é bem pequena e, desse modo os gráficos podem ser aproximados por uma curva contínua.)

[Maple Plot]

Para determinar o nível de vendas a partir do qual a fábrica começa a apresentar lucro, é necessário encontrar os pontos de interseção destas duas funções, isto é, os pontos de interseção da reta C( x ) com a curva R( x ). Estes pontos podem ser encontrados, algebricamente, resolvendo-se a equação 1250 + 7 x = 20 x - 0,005 , que é equivalente a encontrar as raízes da equação de segundo grau -0,005 + 13 x -1250 = 0. As raízes desta equação são 100 e 2500. Isto significa que a partir da produção (e venda) de 100 camisetas a fábrica começa a apresentar lucro voltando a ter prejuízo a partir da produção e venda de 2500 camisetas. Você é capaz de explicar por que este comportamento é razoável? (Clique aqui para ajuda).

Repare ainda que este negócio apresentará lucro nos intervalos (valores de x) onde a função L( x ) =-0,005 +13 x - 1250 for positiva e, prejuízo, nos intervalos onde L for negativa. A figura ao lado, mostra o gráfico de L. O eixo horizontal indica o número de camisetas produzidas e o vertical mostra o lucro (ou prejuízo), em reais.

[Maple Plot]

Resolver a desigualdade L > 0, equivale a encontrar todos os valores de x para os quais o gráfico da função L está acima do eixo x . Para achar estes valores imagine-se caminhando na direção positiva, sobre o eixo x . Enquanto caminha, vá olhando para cima (L > 0 quando o seu gráfico está acima do eixo x ). Você verá o gráfico a partir do ponto x = 50, onde o mesmo corta o eixo x, e permanecerá visível para qualquer posição que você se encontre entre os pontos x = 50 e x = 2500. Assim, o negócio de estamparia apresentará lucro para produções variando entre 50 e 2500 camisetas mensais.

Repare também, que para resolver a inequação L > 0, graficamente, é preciso antes de mais nada, encontrar os pontos onde o gráfico da função L intercepta o eixo x . Isto corresponde a encontrar as raízes da equação L = 0. Assim, para resolver uma inequação, graficamente, você deve primeiro, resolver a equação corrrespondente.

(e) Grandes vendas não significam necessariamente, lucros maiores. O gráfico da função L mostra que se o nível de produção estiver entre A e V', quanto maior for o número de camisetas produzidas maior será o lucro obtido. Se, no entanto, o nível de produção estiver entre V' e B aumentar a produção significa diminuir o lucro. (Lembre-se que para vender um grande número de camisetas será necessário baixar o preço unitário.)

[Maple Plot]

A função L é um exemplo de uma função quadrática, isto é de uma função que pode ser escrita na forma [Maple Math] , onde a , b e c são números reais quaisquer e . As próximas seções são dedicadas ao estudo das principais características e propriedades destas funções. Este estudo permitirá resolver problemas de vários tipos que são modelados por funções quadráticas. Em particular, será possível determinar com precisão o ponto V' que indica o número de camisetas a serem fabricadas de tal modo que o negócio apresente o maior lucro possível.

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