Módulo III - Capítulo I
Aprendendo



Funções Quadráticas: Uma abordagem geométrica



No capítulo 3 do módulo I, estudamos a equação [Maple Math] e traçamos o seu gráfico. Esta equação define a mais simples de todas as funções quadráticas. Esta curva, apesar de mais simples, tem várias propriedades em comum com a função quadrática mais geral [Maple Math] . Esta seção é dedicada ao estudo das funções do tipo [Maple Math] , onde a, h e k são números reais quaisquer. As atividades que se seguem têm como objetivo determinar as principais propriedades e características das funções deste último tipo e mostrar como o gráfico de [Maple Math] pode ser obtido a partir do gráfico da parábola básica [Maple Math] , por meio de transformações geométricas, do mesmo modo como foi feito ao estudarmos a função valor absoluto. Este estudo é importante pois, como veremos no decorrer deste capítulo, toda função quadrática pode ser escrita na forma [Maple Math] .

Atividade 1

Nessa atividade, queremos descobrir como o gráfico de [Maple Math] pode ser obtido a partir do gráfico de [Maple Math].

Na figura ao lado, traçamos em conjunto os gráficos das funções [Maple Math] , [Maple Math] ,

[Maple Math] , [Maple Math]. O que você pode observar?

Clique aqui para explorar um pouco mais esta idéia.

[Maple Plot]



Atividade 2

Queremos descobrir, agora, como o gráfico de [Maple Math] pode ser obtido a partir do gráfico de [Maple Math]

Na figura ao lado, traçamos em conjunto os gráficos das funções [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] . O que você pode observar?

Clique aqui para explorar um pouco mais esta idéia.

[Maple Plot]



Atividade 3

O objetivo dessa atividade é explicar como o gráfico de [Maple Math] pode ser obtido a partir do gráfico de [Maple Math].

Na figura ao lado, traçamos em conjunto os gráficos das funções [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , y = [Maple Math] . O que é possível observar nesse caso?

[Maple Plot]

[Maple Plot]

Na figura ao lado, traçamos em conjunto os gráficos das funções [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , y = 0,1 [Maple Math] . E agora, o que é possível observar?

Clique aqui para explorar um pouco mais estas idéias.



Atividade 4



Na figura ao lado, traçamos em conjunto os gráficos das funções [Maple Math] (pontilhado) e [Maple Math] .

Você consegue explicar como o gráfico de [Maple Math] pode ser obtido a partir do gráfico de [Maple Math] ?

Clique aqui para explorar um pouco mais e concluir.

[Maple Plot]



Agora é com você!


Clique aqui para explorar mais e concluir.



Pelo que foi observado nos exemplos e atividades acima, é possível concluir que para obter o gráfico de [Maple Math] a partir do gráfico de [Maple Math] devemos:

[Maple Plot]

[Maple Plot]



(b) Refletir o gráfico em relação ao eixo x, se [Maple Math] .

[Maple Plot]

[Maple Plot]

[Maple Plot]

[Maple Plot]

[Maple Plot]



Concluindo

O gráfico de uma função do tipo [Maple Math] é uma parábola com a concavidade voltada para cima se a > 0 , ou para baixo, se a < 0. Se [Maple Math] > 1, seu gráfico é "mais fechado" do que o da parábola básica [Maple Math] e, "mais aberto", se [Maple Math] . Seu vértice, isto é, seu ponto extremo é o ponto ( h , k ). Neste vértice a função assumirá o seu menor valor, se a > 0 . Neste caso dizemos que o vértice ( h , k ) é o ponto de mínimo da parábola. Se a < 0 , no vértice, a parábola assumirá o seu maior valor, isto é, o vértice ( h , k ) será o ponto de máximo da parábola. Consequentemente, a imagem destas funções é um intervalo do tipo [ [Maple Math] ), se a < 0 e do tipo ( [Maple Math] ], se a < 0. A reta vertical que passa pelo seu vértice, isto é, a reta x = h , é o seu eixo de simetria. Com isto queremos dizer que as partes do gráfico a direita e a esquerda desta reta são a imagem espelhada uma da outra. Dependendo dos valores de a , h e k o gráfico desta função não intercepta o eixo x ou pode cortar este eixo em 1 ou 2 pontos. Isto significa que a equação [Maple Math] pode ter uma, duas ou nenhuma raiz real.

Exemplo 1



O gráfico de [Maple Math] é uma parábola com vértice no ponto (-4,2). Esta parábola tem a concavidade voltada para baixo pois a = -0,5 < 0 e, consequentemente, o ponto (-4,2) é o ponto de máximo desta função. Como [Maple Math] < 1, o gráfico desta parábola é mais aberto do que o gráfico da parábola básica [Maple Math] . O seu eixo de simetria é a reta [Maple Math] . Isto significa que pontos sobre o gráfico desta função com abscissas da forma -4+ h e -4 - h têm, necessariamente, a mesma ordenada, isto é, [Maple Math] . Em outras palavras, os pontos, sobre o gráfico desta função, cujas abscissas estão a h unidades à direita ou à esquerda do seu vértice têm a mesma imagem. Veja o gráfico ao lado.

[Maple Plot]



Exemplo 2



A função [Maple Math] é da forma [Maple Math] , com a = 2, h = 3, k = -5. Seu gráfico pode ser obtido a partir do gráfico de [Maple Math] por meio de transformações geométricas. Para isto basta dilatar verticalmente o gráfico de [Maple Math] por um fator de escala 2, a seguir transladar o gráfico resultante 3 unidades para a direita e cinco unidades para baixo. Como a figura abaixo mostra seu vértice é o ponto (3, -5) e seu eixo de simetria é a reta x = 3.

[Maple Plot]



Agora é com você!




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