Módulo III - Capítulo I
Aprendendo



Raízes de uma Equação Quadrática e Números Complexos



A fórmula padrão [Maple Math] obtida para a equação quadrática permite que se calcule, facilmente, as raízes de uma equação de segundo grau a partir dos coeficientes a , h e k .

De fato, a partir da fórmula acima, temos que as raízes da equação f( x ) = 0 são dadas por

[Maple Math] e [Maple Math]

Se substituirmos nessas expressões os valores de [Maple Math] e [Maple Math] obteremos a conhecida fórmula, chamada fórmula de Bhaskara, para a determinação das raízes da equação do [Maple Math] grau [Maple Math] , a saber

[Maple Math] e [Maple Math]

Pela fórmula acima, podemos concluir que as soluções da equação [Maple Math] podem ser de três tipos diferentes determinados pelo sinal da expressão [Maple Math] que aparece nessa fórmula. O número [Maple Math] , denotado pela letra grega [Maple Math] (Delta), é chamado discriminante da equação do segundo grau, pois determina o número e o tipo das raízes deste tipo de equação. Repare que pelas expressões acima, obtidas para as raízes da equação f( x ) = 0, podemos concluir que se [Maple Math] > 0 a equação terá duas raízes reais e distintas (a parábola corta o eixo x em dois pontos).

Se [Maple Math] a equação terá somente uma raiz real (a parábola tangencia o eixo x) e não existirão raízes reais se [Maple Math] (a parábola não corta o eixo x).

Agora é com você!


    1) Identifique nos gráficos abaixo os sinais de a e de [Maple Math] .

    Respostas

( a )

[Maple Plot]

( b )

[Maple Plot]

( c )

[Maple Plot]

( d )

[Maple Plot]

Podemos, ainda, obter uma relação simples entre os coeficientes a , b e c de uma equação do [Maple Math] grau e suas raízes, da maneira explicada abaixo.

Sejam [Maple Math] e [Maple Math] as duas raízes da equação [Maple Math] , obtidas pela fórmula de Bhaskara. A partir das expressões obtidas para [Maple Math] e [Maple Math] , podemos calcular [Maple Math] e [Maple Math] , isto é, podemos calcular a soma e o produto das raízes de uma equação do [Maple Math] grau. Vamos fazer essas contas. Sejam

[Maple Math]

e

[Maple Math]

Então temos que [Maple Math] é igual a

[Maple Math]

Simplificando essa expressão, vem que:

[Maple Math]

Da mesma maneira, temos que:

[Maple Math]

Usando as identidades [Maple Math] e [Maple Math] obtidas acima, podemos reescrever a equação [Maple Math] , da maneira descrita a seguir. Considere a equação:

[Maple Math]

Dividindo essa equação por [Maple Math] temos que:

[Maple Math]

Substituindo os valores de S e P , nesta última expressão temos que:

[Maple Math]

Esta última forma é chamada forma Soma-Produto da equação do [Maple Math] grau e é útil na resolução de problemas onde se quer determinar dois números cuja soma e produto são conhecidos.

Agora é com você!



    Ache dois números cuja soma é 13 e o produto 40.

    Resposta.

Conhencendo-se as raízes de uma equação do segundo grau, é fácil obter a forma fatorada de uma função quadrática. O exemplo a seguir tem como objetivo demonstrar como isto pode ser feito.

Exemplo

Comentários

A expressão [Maple Math] pode ser escrita como [Maple Math] . Lembrando que [Maple Math] é igual a soma das raízes e que [Maple Math] é o produto, temos que

[Maple Math] = [Maple Math] .

Observe agora, que a expressão [Maple Math] pode ser fatorada como [Maple Math] e, daí, obtemos que

[Maple Math]

que é o resultado desejado.

Observação

Muito provavelmente, durante o primeiro grau, aprendemos que expressões quadráticas do tipo [Maple Math] , [Maple Math] e [Maple Math] podem ser fatoradas e expressões do tipo x2 + 2 e [Maple Math] não podem. É mais correto dizer que estas duas últimas expressões não podem ser fatoradas se exigirmos que [Maple Math] e [Maple Math] sejam números reais. Este era o caso que interessava quando estávamos cursando o primeiro grau e não conhecíamos o conjunto C dos números complexos. (Para uma rápida revisão sobre números complexos veja a seção Alargando Horizontes.) Toda expressão quadrática pode ser escrita na forma [Maple Math] se permitirmos que [Maple Math] e [Maple Math] assumam, também, valores complexos. Neste caso, os fatores de [Maple Math] não correspondem às interseções do gráfico da função f(x) com o eixo x, mas ainda são as soluções da equação f(x) = 0. Quando [Maple Math] e [Maple Math] são números reais, a forma fatorada de uma função quadrática explicita claramente os pontos onde o gráfico da função intercepta o eixo x. Os exemplos a seguir ilustram esta afirmação.

Exemplo 1



Considere a função [Maple Math] . As raízes da equação [Maple Math] são [Maple Math] e [Maple Math] . Esta informação juntamentemente com as observações anteriores permitem escrever, facilmente, esta função na sua forma fatorada. De fato, [Maple Math] . Esta forma mostra claramente que [Maple Math] e [Maple Math] . Portanto, ( [Maple Math] ) e (2,0) são os pontos onde o gráfico da função h intercepta o eixo x . O gráfico da função h, traçado ao lado, confirma esta conclusão.

[Maple Plot]



Exemplo 2



Considere a função [Maple Math] . Para escrever esta equação na forma fatorada é mais fácil, primeiro, encontrar as raízes da equação [Maple Math] . As raízes da equação [Maple Math] são [Maple Math] e [Maple Math] . Consequentemente, a forma fatorada de P(x) é dada por ( x - (-1+ 2i) ) ( x - (-1 - 2i) ) .

Repare que, neste caso, não existe nenhum número real x tal que f( x ) = 0. Esta observação equivale a dizer que o gráfico desta função, traçado ao lado, não intercepta o eixo x.

[Maple Plot]



Conclusões

Se você compreendeu corretamente os exemplos anteriores deve ter chegado às seguintes conclusões:

Se [Maple Math] e [Maple Math] são números reais o gráfico de [Maple Math] intercepta o eixo x nos pontos ( [Maple Math] ) e ( [Maple Math] ). Se [Maple Math] , o gráfico de f tangencia o eixo x no ponto ( [Maple Math] ). Se [Maple Math] e [Maple Math] não são reais, o gráfico de f não intercepta o eixo x.

Em qualquer dos casos, o vértice do gráfico de f ocorre no ponto de abscissa [Maple Math] . Para encontrar a ordenada do vértice basta calcular [Maple Math] . O eixo de simetria do gráfico de f é, portanto, a reta vertical de equação [Maple Math] .



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