Módulo III - Capítulo I
Aprendendo



Problemas de Otimização

Um problema de otimização é aquele onde se procura determinar os valores extremos de uma função, isto é, o maior ou o menor valor que uma função pode assumir em um dado intervalo. Problemas de otimização são comuns em nossa vida diária e aparecem quando procuramos determinar o nível de produção mais econômico de uma fábrica, o ponto da órbita de um cometa mais próximo da terra, a velocidade mínima necessária para que um foguete escape da atração gravitacional da terra, etc.

O problema da estamparia de camisetas que estudamos no início deste capítulo mostrou como o conhecimento das principais propriedades e características das funções quadráticas pode nos ajudar a resolver problemas reais. Esta seção será voltada a estudar alguns métodos para modelar e resolver alguns problemas de otimização. Mais especificamente, estudaremos problemas envolvendo máximos e mínimos de funções quadráticas e inequações de segundo grau.

A resolução da maioria dos problemas de otimização requer conhecimentos de Cálculo Diferencial que foge ao objetivo deste curso. No entanto, é possível e até mesmo muito fácil resolver este tipo de problema quando o mesmo é modelado por uma função quadrática. Como já vimos, toda função quadrática tem um valor extremo, que ocorre no vértice de seu gráfico. O gráfico ao lado exemplifica o caso em que o vértice da parábola é um ponto de máximo.

[Maple Plot]

Assim, na maioria dos problemas de otimização envolvendo funções quadráticas, a tarefa mais difícil é achar a função que modela o problema. Feito isto, resolver o problema se resume em achar as coordenadas do vértice do gráfico da função. Neste capítulo, nós já estudamos e resolvemos um problema deste tipo quando determinamos o número de camisetas que devem ser vendidas para que o lucro no negócio de estamparia seja máximo (Problema 1 - Seção Mãos à obra). O exemplo a seguir ilustra outra situação deste tipo.

Exemplo 1

Usando Cálculo e Física, podemos provar que, sob certas condições (considerando somente o efeito da gravidade e desprezando-se a resistência exercida pelo ar), se um projétil é arremessado verticalmente de uma altura [Maple Math] , dada em metros, com uma velocidade inicial [Maple Math] , dada em m/s, é possível mostrar que sua altura s, t segundos após o lançamento, é dada por

s(t) = - 5t2 + v0t + s0

Comentários

(a) A função s(t) = - 5t2 + v0t + s0 fornece a altura do projétil para cada instante de tempo t. Sabemos que [Maple Math] e como o projétil leva 10 segundos para retornar ao solo temos que s(10) = 0. Substituindo estes valores na equação dada obtemos - 500 + 10 v0 = 0 . Resolvendo esta equação para [Maple Math] , temos que v0 = 50 m/s.

(b) Usando o valor para [Maple Math] , obtido no item anterior, a equação que modela o movimento se transforma em s(t) = - 5t2 + 50t , que é uma parábola cujo vértice se localiza em (5,125). Este vértice é um ponto de máximo da função pois, como a = - 5 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Deste modo, o projétil atinge a altura máxima em 5 segundos e esta altura é igual a 125 m. Veja ao lado o gráfico da altura atingida pelo projétil, em função do tempo transcorrido.

[Maple Plot]

Para resolver um problema de máximo modelado por uma função quadrática basta, portanto, determinar o vértice de seu gráfico e, dependendo do sinal de a , decidir se este vértice é um máximo ou um mínimo para o gráfico desta função.

Exemplo 2

Compreendendo o problema

Recordando o que aprendemos na seção Alargando Horizontes do Capítulo III do Módulo I, o primeiro passo para resolver um problema é compreendê-lo. Assim, antes de mais nada, precisamos saber quais são os dados do problema e o que precisamos determinar. Além disso, é importante lembrar também se conhecemos algum problema parecido que possa nos auxiliar na resolução deste.

Em outras palavras, o problema que queremos resolver nos pede para determinar dentre todos os retângulos de perímetro (comprimento do sarrafo) igual a 8m, aquele que tem a área máxima. Podemos construir muitos retângulos cujo perímetro seja igual a 8m. Por exemplo, um retângulo de altura igual a 3m e largura igual a 1m, tem perímetro igual a 8m. Sua área é 3 m2. Outra possibiliddade é construir um retângulo com altura igual a 2,5m e largura igual a 1,5m. Nesse caso, a área será de 3,75 m2. O problema que estamos propondo é como descobrir qual, dentre todos estes retângulos, tem área máxima?

Clique aqui para explorar o problema e entender melhor.

Deduzindo uma equação

Seguindo a regra de quatro passos para resolver um problema, após compreender o problema, quais são os dados e o que precisamos determinar, vamos tentar deduzir uma equação matemática que sirva como um modelo para este problema.

Se você realizou a atividade anterior, deve ter concluído que se a largura de um desses retângulos é representada por x, sua altura será dada por 4 - x. Sabendo que a área de um retângulo é dada pelo produto de sua largura por sua altura, se chamarmos a área desse retângulo de y, teremos que y = x (4 - x) ou, fazendo as contas, y = 4x - x2.

Está claro que a função y = 4x - x2 é uma função quadrática cujo gráfico é uma parábola. Como já vimos, toda função quadrática tem um valor extremo, que ocorre no vértice de seu gráfico. Este vértice será um máximo ou um mínimo da função, dependendo do sinal de a. No nosso caso, a < 0 e, portanto, o vértice da parábola é um máximo da função.

Assim, resolver o problema proposto se resume a achar as coordenadas do vértice da parábola em questão. A partir do estudo feito nas seções anteriores, sabemos que o vértice do gráfico da parábola, representada pela função [Maple Math] , tem coordenadas (h, k) = ( [Maple Math] ).

Agora é com você!



Resolvendo o Problema e Interpretando a solução

Resolvendo Inequações de Segundo Grau

Algumas vezes, a solução de um problema depende de conseguirmos interpretar e resolver corretamente, uma inequação quadrática. No início deste capítulo, aprendemos a resolver inequações, graficamente. Nesta seção veremos como é possível resolver analiticamente inequações quadráticas.

Exemplo 3



Uma escola de dança resolveu promover um baile e para isso, necessita alugar um salão de um clube da comunidade. O espaço a ser alugado consiste de uma área retangular limitada por duas paredes revestidas de espelho e dois painés móveis. Veja o esquema ao lado.

A escola precisa de 2 [Maple Math] de espaço por pessoa e espera de 300 a 350 pessoas para o baile. O clube dispõe de 55 metros de painéis móveis e a sala é bastante grande para arranjá-los em qualquer forma retangular pré-determinada. A escola quer garantir espaço suficiente para o evento. Represente por L a largura do espaço a ser alugado.

[Maple Plot]

(a) Expresse a área do espaço a ser alugado como uma função de L.

(b) Explique porque é necessário resolver a desigualdade [Maple Math] , para calcular a largura do espaço a ser alugado de modo a satisfazer as necessidades da escola.

(c) Resolva a desigualdade e sabendo que o preço do aluguel é diretamente proporcional a área a ser alugada, determine os possíveis arranjos dos painéis de modo a satisfazer as necessidades da escola, pagando-se o menor aluguel possível.

Comentários

(a) Seja C o comprimento do espaço a ser alugado. Então, a sua área A será dada por A = CL. Como o comprimento total dos painéis é de 55 m, temos que C + L = 55 e, portanto C = 55 - L. Logo, a área do espaço a ser alugado pode ser expressa como A = L ( 55 - L) = [Maple Math] .

(b) Para garantir espaço para todos é necessário que o espaço a ser alugado tenha uma área de pelo menos 700 [Maple Math] . (Este número foi calculado multiplicando-se o número máximo de pessoas esperadas pelo espaço mínimo necessário a cada uma delas.) Em linguagem matemática, esta condição é expressa pela desigualdade A >= 700. Assim, como A = [Maple Math] (item anterior), para calcular a largura do espaço a ser alugado de modo a satisfazer as necessidades da escola basta resolver a desigualdade [Maple Math] , isto é, basta calcular os valores de L que satisfazem a desigualdade.

(c) Para resolver a desigualdade [Maple Math] é preciso, primeiro, resolver a equação [Maple Math] . As raízes desta equação são 20 e 35. Estas raízes dividem a reta em três intervalos ( [Maple Math] ), (20,35) e ( [Maple Math] ). Repare agora, que a função que determina a área é uma parábola e portanto seu gráfico é uma curva contínua.

Funções cujos gráficos são curvas contínuas só podem trocar de sinal em um intervalo, se houver um ponto no intervalo, onde a função se anule, isto é, se no intervalo existir uma raiz da equação f( x ) = 0. Geometricamente, esta afirmação significa que uma curva contínua só pode passar da parte do plano localizada acima do eixo x , onde y > 0, (primeiro e segundo quadrantes) para a parte de baixo, onde y < 0, (terceiro e quarto quadrantes), ou vice-versa, se cortar, em algum ponto, dentro deste intervalo, o eixo dos x . Veja o gráfico ao lado que ilustra esta afirmação. Neste exemplo, a função f, cujo gráfico é contínuo, troca de sinal no intervalo ( a , b ) ( f( a ) < 0 e f( b ) > 0). Então, necessariamente, existe um ponto c , no intervalo ( a , b ), tal que f( c ) = 0, isto é, onde o gráfico da função corta o eixo x.

[Maple Plot]



Dessa maneira, como as únicas raízes da equação [Maple Math] são 20 e 35, a função corta o eixo x nestes pontos e não pode trocar de sinal nos intervalos ( [Maple Math] ), (20,35) e ( [Maple Math] ). Além disso, como o coeficiente do termo quadrático é negativo, esta parábola tem a concavidade voltada para baixo e, portanto, a função assumirá valores positivos no intervalo (20,35) e negativo nos outros dois. Veja o esquema.

[Maple Plot]

Assim, a função será positiva para valores de L entre 20 e 35 sendo igual a zero nestes pontos. Todos os valores do intervalo [20,35], portanto, satisfazem a desigiualdade. Para satisfazer as condições de espaço e pagar a menor taxa de aluguel possível a área da região a ser arrendada deverá ser igual a 700 [Maple Math] e poderemos usar painéis móveis medindo 20m para a largura do salão e 30m para o comprimento, ou vice-versa.

O resultado seria diferente se o coeficiente do termo quadrático fosse positivo. Este caso é estudado no Exemplo 4.

Exemplo 4



Considere a inequação [Maple Math] . As raízes da equação [Maple Math] são as mesmas do exemplo anterior, isto é, 20 e 35. No entanto, como o coeficiente de [Maple Math] é positivo, a parábola que representa o gráfico da função [Maple Math] apresenta a concavidade voltada para cima e temos o seguinte esquema para o sinal desta função:

[Maple Plot]

Neste caso, a função é negativa no intervalo (20,35) e a solução da inequação [Maple Math] é dada por todos os valores de x pertencentes a este intervalo.

Os exemplos anteriores ilustram o sinal da função quadrática [Maple Math] no caso em que a equação [Maple Math] tem duas raízes reais. No entanto, já vimos que uma equação deste tipo pode não ter raízes reais ou ter somente uma raiz real. Os exemplos a seguir estudam o sinal da função quadrática nestes casos.

Exemplo 5

Resolva a inequação [Maple Math] > 0.

Solução



Como [Maple Math] = -4, a equação [Maple Math] não tem raízes reais. Isto significa que o gráfico da função [Maple Math] não intercepta o eixo x. Além disso, o vértice da parábola que representa o gráfico da função f, está localizado no ponto ( [Maple Math] ) e este ponto é um ponto de mínimo da função, pois como a = 2 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. Deste modo, o menor valor que a função f assume ocorre em [Maple Math] e é igual a [Maple Math] . Em outras palavras, f(x) > [Maple Math] , para todos os valores de x . Deste modo a função f é sempre positiva e a inequação é verdadeira para todos os valores de x , isto é, a solução da inequação é o intervalo ( [Maple Math] ). Veja o gráfico desta função e o esquema de sinal.

[Maple Plot]



Do mesmo modo, se a equação não tiver raízes reais e o coeficiente de [Maple Math] for negativo, a parábola que representa o gráfico da função [Maple Math] terá a concavidade voltada para baixo, o vértice deste gráfico será um ponto de máximo da função e, como este gráfico não poderá interceptar o eixo x, o valor da função neste ponto terá que ser, necessariamente, negativo (caso contrário, a parábola interceptaria o eixo x ). Desse modo, f(x) < 0, para todos os valores de x. Estas conclusões estão representadas graficamente no esquema ao lado.

[Maple Plot]



Exemplo 6

Resolva a desigualdade [Maple Math] .

Solução



A equação [Maple Math] tem somente uma raiz real, a saber, x = 1. A função [Maple Math] , portanto, se anula neste ponto. Como o gráfico desta função é uma parábola com a concavidade voltada para cima ( a > 0) que só intercepta o eixo x no ponto (1,0), este ponto é o vértice da parábola (confira!) e ponto de mínimo da função. Este fato nos permite concluir que em todos os outros pontos, f(x) > f(1) = 0, ou seja, a função é positiva para todos os outros valores de x . Portanto a inequação só será verdadeira em x = 1. Veja estas conclusões resumidas no esquema gráfico ao lado.

[Maple Plot]



Se a é negativo, e a equação [Maple Math] tem uma única raiz real r então, o ponto ( r, 0) é o ponto de máximo do gráfico da função [Maple Math] e esta função é negativa em todos os pontos. Veja o esquema abaixo.

[Maple Plot]

Os exemplos acima permitem concluir que o sinal da função [Maple Math] depende do sinal de a e do número de raízes reais da equação [Maple Math] e podem ser resumidas nos seguintes casos:

Caso 1: [Maple Math] > 0, isto é, a equação [Maple Math] tem duas raízes reais [Maple Math] e [Maple Math] .

Conclusão: A função [Maple Math] tem sinal contrário ao de a , para valores de x no intervalo ( [Maple Math] ) e o mesmo sinal de a fora deste intervalo.

Caso 2: [Maple Math] , isto é, a equação [Maple Math] tem uma única raiz real r .

Conclusão: A função [Maple Math] se anula em r e tem o mesmo sinal de a para todos os outros valores reais de x .

Caso 3: [Maple Math] , isto é, a equação [Maple Math] não tem raízes reais.

Conclusão: A função [Maple Math] tem sempre o mesmo sinal de a .



Agora é com você!

    Resolva a desigualdade - 0,005 [Maple Math] + 13 x - 1250 > 0 .
  • O que representa esta solução no contexto do problema da fábrica de estampar camisetas, apresentado na seção Motivação deste capítulo?

    Respostas.



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