Módulo III - Capítulo I
Alargando Horizontes



O Conjunto dos Números Complexos

Como vimos na seção anterior, a função quadrática [Maple Math] poderá sempre ser escrita na forma y = a (x - x1)(x - x2) , onde [Maple Math] e [Maple Math] são as duas raizes da equação [Maple Math] , que podem ser reais distintas, repetidas, isto é, iguais, ou mesmo complexas. De fato existem equações, como por exemplo [Maple Math] , que não têm raizes reais. Ao tentarmos encontrar as raizes desta equação, chegaremos a [Maple Math] . E agora? As soluções desta equação seriam dadas pelas expressões [Maple Math] e [Maple Math] que não têm sentido no conjunto dos números reais, pois, como sabemos, a função [Maple Math] só está definida para valores reais positivos de x .

Em matemática, todas as vezes em que nos deparamos com uma dificuldade podemos deixá-la de lado sem resposta e, neste caso, não estaremos resolvendo o problema proposto, ou seja, encontrar as raízes da equação [Maple Math] ou podemos reconhecer a insuficiência do conjunto dos números reais para resolver este problema e, a partir deste reconhecimento, criar novos tipos de números onde as equações quadráticas com determinante negativo tenham solução. A construção deste novo conjunto numérico deve respeitar duas regras básicas que são conhecidas como o princípio da extensão. Estas regras são as seguintes:

1) Os novos números criados devem ser suficiente para resolver por completo a dificuldade que exigiu a sua construção.

2) Os novos números não devem ser incoerentes com os já existentes mas, pelo contrário, devem contê-los como um caso particular.

Assim, para resolver o problema de encontrar as raízes de uma equação quadrática com determinante negativo, definimos o número imaginário i como i = [Maple Math] . A partir daí, definimos um número complexo z como qualquer número da forma [Maple Math] , onde a e b são números reais. O número a é chamado parte real e o número b , parte imaginária do número complexo z e são denotados por Re(z) e Im (z), respectivamente. Dois números complexos são iguais quando suas partes reais e imaginárias coincidem. Quando a = 0, teremos um imaginário puro, que são as raízes quadradas de números reais negativos. Claramente, os números complexos incluem todos os números reais pois se b = 0, os números complexos se reduzem aos reais e, além disso, toda equação quadrática terá solução no conjunto dos complexos. Vamos ilustrar esta última afirmação com um exemplo.

Exemplo

Ache as raízes da equação [Maple Math] .

Solução

Neste exemplo, temos que [Maple Math] = -4 . Como o discriminante é negativo, as raízes desta equação são números complexos. Estas raízes são dadas pelas expressões [Maple Math] e [Maple Math] . Note que [Maple Math] . Assim, levando em conta a definição do número imaginário i , podemos concluir que [Maple Math] = 2 i . Desse modo, temos que [Maple Math] e [Maple Math] são as raízes da equação dada.

O Plano Complexo



Utilizando um sistema de coordenadas cartesianas, podemos associar os números complexos aos pontos do plano e, reciprocamente, cada ponto do plano estará associado a um número complexo. Assim, o número complexo 2 + 3i está associado ao ponto do plano localizado a duas unidades à direita e três unidades acima da origem, conforme mostra a figura ao lado.
De um modo geral, o número complexo z = a + bi é representado no plano pelo ponto P de coordenadas (a,b). Esta interpretação foi dada por Carl Friedrich Gauss e, de certa forma, deu um sentido geométrico a uma classe de números que até então eram definidos como "uma espécie de anfíbio entre ser e não ser" (Leibnitz), ou como "números que não são nada, nem menos que nada, o que, necessariamente, os faz imaginários ou impossíveis" (Euler).

[Maple Plot]

O conjunto de todos os números complexos representados no plano recebe o nome de Plano Complexo. Neste plano, o eixo das abscissas recebe o nome de Eixo Real e o eixo das ordenadas, de Eixo Imaginário, visto que sobre estes eixos são representadas, respectivamente, as partes reais e imaginárias de cada número complexo.

Clique aqui para experimentar e entender melhor.

Podemos interpretar, geometricamente, um número complexo [Maple Math] como o vetor (a,b) de origem em (0,0) e extremidade final no ponto (a,b) do plano cartesiano. A cena ao lado ilustra esta afirmação. Mova a extremidade do vetor que representa o número complexo z= a + bi para percorrer o plano complexo.

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Adaptação da atividade originalmente proposta por Ángela Núñez Castaín disponibilizadas na página do Proyecto Descartes.



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