Módulo III - Capítulo I
Alargando Horizontes



Operando com Complexos



Adição e Subtração

Para adicionar ou subtrair dois números complexos devemos adicionar ou subtrair as suas partes reais e imaginárias, separadamente.

Se z1 = a +b i e z2 = c +d i são dois números complexos, então a sua soma é um outro número complexo dado por z1 + z2 = (a + c) + (b + d) i e sua diferença é um outro número complexo dado por z1 - z2 = (a - c) + (b - d) i

Agora é com você!




Multiplicação de Números Complexos

Para multiplicar números complexos, devemos tratá-los como binômios e simplificar a expressão resultante usando a identidade [Maple Math] .

Exemplo 1

Multiplique 2 + 3i e 5 - i.

Solução

(2+ 3i)(5 - i) = (2)(5) +(2)(-i) + (3i)(5) + (3i)(-i) = [Maple Math] = 13 + 13i

Exemplo 2

Se [Maple Math] , ache [Maple Math] e [Maple Math] .

Solução

[Maple Math] = [Maple Math] = [Maple Math]

[Maple Math] = [Maple Math] = [Maple Math]

As propriedades das potências se aplicam aos números complexos. Por exemplo, podemos usar as propriedades da potenciação em conjunto com os resultados obtidos no exemplo anterior para calcular [Maple Math] , dessa maneira:

[Maple Math] = [Maple Math] = [Maple Math]

Como [Maple Math] , podemos provar que qualquer potência de i será igual a 1, -1, i ou -i. De fato, temos que

[Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] e assim por diante, sempre se repetindo em ciclos de quatro.

Clique aqui para visualizar e entender melhor.

Números Complexos Conjugados



Dois números complexos são chamados de conjugados quando são da forma [Maple Math] e [Maple Math] .

Note que a soma de dois complexos conjugados será igual a 2a e o produto, igual a [Maple Math] , ambos números reais. Além disso, se uma equação do segundo grau tem coeficientes reais, suas duas raizes serão ou ambas reais, podendo ser ou não repetidas, ou um par de números complexos conjugados.

Agora é com você!


      (a) Represente, graficamente no seu caderno os seguintes números complexos e seus conjugados: 3 - 5i, 5 + 2i, -1 - 2i, -2 + 3i, 5, 0, 2i, -5i
      (b) Use a cena ao lado para comprovar a sua resposta e visualizar a afirmação acima.
      (c) Dê uma possível interpretação geométrica para o conjugado de z?



Divisão de Complexos



O quociente de dois números complexos, escrito na forma de uma fração, pode ser obtido na forma padrão (a + bi) multiplicando-se o numerador e o denominador da fração pelo complexo conjugado do denominador. O exemplo a seguir ilustra este fato.

Exemplo 3

Escreva o número complexo [Maple Math] na forma padrão.

Solução

[Maple Math] = [Maple Math] = [Maple Math]

Módulo de um Número Complexo



Agora é com você!



    (a) Levando-se em conta a interpretação geométrica de um número complexo, você seria capaz de dar uma interpretação geométrica para o seu módulo?
    (b) Como você definiria, analiticamente, o módulo de um número complexo?
    (c) Se z e w são números complexos, dê uma possível interpretação geométrica para | z - w | .
    (d) O que significa, geometricamente a desigualdade
    [Maple Math] ?
    Clique aqui para obter uma pista.

    (e) Como se pode descrever, geometricamente, o conjunto de todos os números complexos tais que
    [Maple Math] ?

    Respostas



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