Módulo III - Capítulo I
O Mundo ao Nosso Redor



Interpolação

Durante o estudo do Capítulo I - Módulo II, vimos que é possível representar uma mesma função de três maneiras distintas: por meio de tabelas, gráficos ou expressões analíticas. Já vimos também que cada uma dessas representações apresenta vantagens e desvantagens e que é possível, porém às vezes não muito fácil, obter qualquer dessas representações a partir de uma outra. Por exemplo, quase sempre usamos tabelas para listar valores obtidos por meio de observação ou de algum outro processo experimental. Mas tabelas não nos permite obter outros valores para o fenômeno observado, além daqueles que fazem parte da mesma. Ao contrário, quando uma função é expressa por meio de uma expressão matemática é muito fácil obter várias informações sobre o fenômeno representado pela função mesmo que estas informações não apareçam de forma explícita na equação. Assim, um problema muito importante e com o qual nos deparamos muitas vezes é como obter uma expressão matemática que represente o fenômeno que estamos estudando quando os dados, obtidos experimentalmente, são listados em uma tabela. Em outras palavras: como passar da tabela para uma equação matemática?

Na maioria dos casos, este problema é muito complexo para ser resolvido de forma exata e, por isso, o que procuramos encontrar é uma aproximação para o problema. O processo pelo qual associamos a uma tabela, uma expressão matemática que a represente, pelo menos, de forma aproximada é chamado de interpolação. Numa interpolação, a função obtida deve representar de forma exata os valores que aparecem na tabela mas fornecerão apenas uma estimativa para os valores que não aparecem na tabela. O que esperamos é que esta estimativa seja razoável!

Uma vez que entendemos que a partir de uma tabela, em geral, não vamos conseguir obter uma função que modele o fenômeno de maneira exata mas somente uma de uma forma aproximada, surge outro problema: como escolher o tipo de função que aproxima o fenômeno? Em outras palavras: que tipo de interpolação devemos fazer? Veja que o fato da aproximação ser razoável (boa) ou não para modelar o fenômeno estudado dependerá da resposta a esta pergunta. Por outro lado, a pista para esta resposta deve estar contida na tabela. Os pontos listados na tabela podem mostrar uma tendência que devemos respeitar se desejamos que a função de interpolação represente de forma razoável o fenômeno estudado.

Por exemplo, se numa dada tabela para valores igualmente espaçados da variável independente, a diferença entre os respectivos valores da varável dependente e da variável independente é constante, a tabela parece indicar que o fenômeno pode ser modelado por uma função afim. Nesse caso, dizemos que fizemos uma interpolação linear e a diferença entre os valores da variável dependente e independente é dita primeira diferença.



Agora é com você!


    (a) Baseando-se no que você aprendeu sobre funções afim, justifique a veracidade da afirmação acima.
    (b) Decida quais das seguintes tabelas podem ser modeladas por funções afim:

(a)
x y
13 29
15 26
17 23
19 20
21 17
(b)
x y
-2 -5
-1 -1
0 3
1 5
2 7
(c)
x y
5 7
4 5
2 1
-3 -9
-4 -11
(d)
x y
0,3 17
0,6 11
0,7 9
0,9 5
1 3


Um modelo aproximado para o resfriamento dos corpos

Na tabela ao lado anotamos, a cada cinco minutos, a temperatura do café após o mesmo ser servido em uma xícara. Suponha que queremos saber quanto tempo o café leva para chegar a uma temperatura de 70oC. Os itens a seguir mostram como é possível obter uma resposta aproximada para esta questão.

Agora é com você!



(a) Verifique que os dados da tabela não podem ser aproximados por uma função afim.
(b) Marque os pontos da tabela numa folha de papel milimetrado. Trace uma curva suave unindo os pontos que você marcou. Use o gráfico que você traçou para completar os dados na tabela abaixo.
x 0 1 2 3 4 5
y 80 .... .... .... .... 64

(c)No gráfico que você traçou, esboce a reta que passa pelos pontos (0, 80) e (5, 64). O que você pode concluir?
(d) Ache a equação da reta que passa pelos pontos (0, 80) e (5, 64) e use-a para completar a tabela do item (b)
(e) Use o modelo anterior para responder a questão proposta.

Tempo (em minutos) desde que o café foi servido Temperatura em graus Celsus
0 80
5 64
10 52
15 44
20 38
25 33
30 30

O modelo anterior ilustra que o segmento de reta que passa pelos ponto (0, 80) e (5, 64) aproxima a curva que passa por estes dois pontos. No Capítulo 3 - Módulo II, vimos que as funções que têm esta propriedade são ditas localmente lineares e que a reta que melhor a aproxima num determinado ponto é a reta tangente à curva no mesmo ponto. Estas curvas podem ser aproximadas, em pequenos intervalos, por funções afim sem grande perda de precisão. O problema anterior também pode ser resolvido usando-se conceitos de taxa de variação, como ilustra o próximo exemplo.

Exemplo

Qual a temperatura do café decorridos 2 minutos do início do processo?

Solução

De acordo com a tabela, nos primeiros cinco minutos a variação na temperatura do café foi de

64 -80= -6 graus.


Logo, a taxa média de variação da temperatura do café, nestes 5 minutos foi de

-6/ 5 graus por minuto.


Assim, se a temperatura inicial era de 80o, a temperatura do café decorridos 2 minutos era cerca de

80 + 2 (-6/5) = 77,6o

Agora é com você!


    (a) Se o café esfria a uma taxa de -6/ 5 graus por minuto, quanto tempo o café leva para atingir a temperatura de 70o? (Sua resposta deve coincidir com aquela obtida anteriormente.)
    (b) Ainda tomando como base a tabela anterior, calcule a taxa média de resfriamento do café no intervalo entre 15 e 20 minutos do início do processo.
    (c) Use o resultado do item anterior para estimar a temperatura do café decorridos 18 minutos do início do processo.
    (d) Use a resposta do item (a) para estimar quanto tempo leva para a temperatura do café atingir 40o.



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