Módulo III - Capítulo II
Aprendendo



Funções Polinomiais: motivação, definição e exemplos

No Capítulo III - Módulo II, estudamos as funções afim cujas equações têm a forma [Maple Math] . No capítulo anterior, estudamos as funções quadráticas, cujas equações têm a forma [Maple Math] . Estas duas funções são casos especiais de funções polinomiais.

Polinômios aparecem na resolução de muitos problemas na vida prática, por isso é importante estudá-los com um pouco mais de cuidado. Por exemplo, ao iniciarmos o estudo de funções (Capítulo I - módulo II), estudamos o problema de construir uma caixa sem tampa a partir de uma folha retangular de metal, retirando-se os quatro cantos, conforme mostra a figura.

Você pode clicar aqui para se recordar melhor do problema.

Claramente, podemos obter x e y, respectivamente comprimento e largura da base da caixa, em função da sua altura h. Para fixar idéias, suponhamos que o pedaço retangular de metal meça 5 cm de comprimento e 4 cm de largura. É fácil ver que, nesse caso, [Maple Math] e [Maple Math] . Desta maneira, o volume da caixa pode ser, também, obtido em função de h. Temos, então,

[Maple Math] = [Maple Math].

[Maple Plot]

Esta função é um exemplo de um polinômio de terceiro grau. Uma questão de interesse prático é descobrir quanto se deve cortar nos cantos para obter uma caixa de volume máximo.

Problemas de encontrar máximos e mínimos de funções foram objeto de estudo dos matemáticos por vários séculos. O astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-1630) foi dos primeiros matemáticos a estudar o problema de localizar os valores extremos de uma função. Ele estava preocupado com um problema de ordem prática de determinar a forma de uma barrica de vinho que contivesse um volume máximo. Para resolver este problema, Kepler montou uma enorme tabela correlacionando os valores da incógnita dependente com aqueles da incógnita independente e estimou o valor extremo observando entre que valores a função mudava de crescente para decrescente. Como Kepler não dispunha de computadores e nem mesmo o conceito de gráfico de uma função estava bem estabelecido na sua época, ele calculou todos os valores a mão. Somente em 1629, Pierre Fermat desenvolveu um método para localizar os extremos de uma função com precisão, usando as idéias de reta tangente a uma curva. O trabalho de Fermat foi criticado por Descartes e outros matemáticos da época que questionavam os fundamentos matemáticos de seu método. Sempre relutante em publicar seus trabalhos, Fermat esperou até 1637 para descrever seu método em um manuscrito que foi publicado por seu filho em 1679, 14 anos depois de sua morte. A teoria que, finalmente, justificaria o Método de Fermat foi desenvolvida cerca de 150 anos mais tarde, por Augustin Louis Cauchy (1789-1857).

Quando estudarmos cálculo, vamos aprender o Método de Fermat para a localização exata dos extremos de uma função, com a vantagem de alguns séculos de refinamentos. Por ora, esta questão não é muito fácil de ser respondida com a matemática que dispomos até o momento, mas vamos incorporar o espírito de Kepler e tentar encontrar uma resposta, pelo menos, aproximada para o problema da caixa por meio de uma abordagem gráfica . Só que hoje, ao contrário de Kepler, temos a nosso dispor a ajuda de computadores que são capazes de realizar em instantes a tarefa que tomou meses a Kepler!

Analisando atentamente, o gráfico da função [Maple Math] podemos concluir que o valor de h que conduz a uma caixa de volume máximo, está perto de h = 0,8. No quadro ao lado, usando sucessivamente o botão de "zoom"' e fazendo os ajustes necessários para observar o gráfico num intervalo pequeno de variação de x, poderemos fazer uma estimativa melhor e concluir que o ponto de máximo situa-se entre h = 0,7 e h = 0,8. Continuando desta maneira, podemos obter estimativas cada vez melhores para o valor de h que produz a caixa de volume máximo.



Agora é com você!


    Use a cena acima para melhorar a estimativa para o valor de h que produz a caixa de volume máximo.

Este capítulo é destinado a um estudo um pouco mais cuidadoso das funções polinomiais. Vamos começar com uma definição.

Definição

Um polinômio (ou função polinomial) de grau n é uma função da forma

[Maple Math] + ... + [Maple Math]

onde os coeficientes [Maple Math] ,..., [Maple Math] são números reais conhecidos, [Maple Math] e n é um número natural. O valor de n determina o grau do polinômio. Cada uma das parcelas [Maple Math] de um polinômio é chamada de monômio de grau i .



Exemplo 1

A função afim f(x) = ax + b e a função quadrática [Maple Math] , onde a, b e c são reais quaisquer e a não é nulo, são exemplos de polinômios de primeiro grau e de segundo grau, respectivamente. Um polinômio de grau zero é uma função constante. Assim, as funções f(x) = 3x - 4, [Maple Math] e f(x) = 3 são polinômios de graus 1, 2 e zero, respectivamente.

Exemplo 2

A função V(h) = [Maple Math] , obtida na seção anterior no estudo do problema da caixa, é um exemplo de um polinômio de terceiro grau pois pode ser reescrita como [Maple Math] .

Exemplo 3

As funções [Maple Math] e [Maple Math] não são funções polinomiais pois não podem ser reescritas na forma

[Maple Math] + ... + [Maple Math]



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