Módulo III - Capítulo II
Aprendendo



Função Potência

Já vimos que o gráfico de toda função afim é uma reta e que o gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola. No entanto, os gráficos de funções polinomiais de grau mais altos, à primeira vista, parecem ter poucas características comuns. Veja abaixo alguns gráficos de funções polinomiais de grau maior que dois.

[Maple Math]

[Maple Plot]

[Maple Math]

[Maple Plot]

[Maple Math]

[Maple Plot]

[Maple Math]

[Maple Plot]

Um dos objetivos deste capítulo é tentar descobrir algumas propriedades comuns a todas as funções polinomiais. Para atingir este objetivo, vamos começar o nosso estudo por um tipo simples, porém muito importante de polinômio: as chamadas funções potências. Estas funções são da forma [Maple Math] e seus gráficos fornecem informações importantes a respeito do comportamento destas funções. Já conhecemos muito bem os gráficos de [Maple Math] e [Maple Math] . As figuras a seguir mostram os gráficos das funções potências de grau 3, 4, 5 e 6.

[Maple Math]

[Maple Plot]

[Maple Math]

[Maple Plot]

[Maple Math]

[Maple Plot]

[Maple Math]

[Maple Plot]



Agora é com você!


    O que os gráficos anteriores têm em comum e o que eles têm de diferente?



Comentários

Pela observação rápida dos gráficos acima parece ser possível concluir que o comportamento global das funções potências dependem, em primeiro lugar da paridade de n, isto é, as funções do tipo [Maple Math] , para n par, apresentam um gráfico em forma de U, enquanto que para n ímpar estas funções apresentam um gráfico sempre crescente. Para tentar comprovar estas primeiras observações, vamos estudar o comportamento destas funções separando os casos em que n é par dos casos em que n é ímpar.

Agora é com você!



Concluindo

Se você observou com cuidado os gráficos da função [Maple Math] para diversos valores ímpares de n deve ter concluído que o domínio e a imagem destas funções é toda a reta. Além disso, todas estas funções são crescentes, seus gráficos passam pelos pontos (-1,1), (0,0) e (1,1) e são simétricos em relação à origem, pois [Maple Math] , para todos os valores de x, no domínio destas funções. Como já vimos, funções com esta propriedade são ditas ímpares. Em relação ao comportamento global destas funções, podemos observar que quando os valores de x crescem em valor absoluto, os valores correspondentes da função crescem ilimitadamente se x é positivo, e decrescem ilimitadamente, quando x é negativo. Estas últimas observações, traduzidas em linguagem matemática, nos permitem afirmar que [Maple Math] e que [Maple Math] .

Generalizando

O que gostaríamos de saber agora é se as características observadas em relação as comportamento das funções potência de grau ímpar no infinito são próprias de qualquer polinômio de grau ímpar. Em outras palavras, se [Maple Math] é um polinômio de grau ímpar, qual o comportamento de [Maple Math] , quando x cresce em valor absoluto?

Agora é com você!




Concluindo

Se você realizou com atenção a atividade anterior, deve ter concluído que à medida que o tamanho da janela usada para traçar os gráficos aumenta, se torna cada vez mais difícil distingui-los e a imagem que aparece na tela é uma única reta vertical! Esta imagem nos informa que as duas funções tendem a infinito quando x se torna cada vez maior e para menos infinito quando x se torna cada vez menor. Isto nos permite conjecturar que para grandes valores de x um polinômio de grau ímpar se comporta como o seu monômio de maior grau quando x cresce em valor absoluto. Uma outra maneira de expressar este fato é dizer que um polinômio de grau ímpar e o seu monômio de maior grau crescem à mesma velocidade ou que o limite do quociente dessas duas funções é igual a 1, quando x cresce em valor absoluto. Na próxima seção estudaremos com maiores detalhes o comportamento das funções formadas pelo quociente de dois polinômios.

Agora é com você!


    (a) Comprove analiticamente a conclusão anterior.

    (b) Use o quadro ao lado para comprovar, graficamente, que os polinômios de grau ímpar são funções ímpares (e, portanto, seus gráficos são simétricos em relação à origem) se apresentarem somente monômios de grau ímpar.

    (c) Comprove analiticamente a conclusão anterior.



Vamos repetir a análise anterior para estudar o comportamento e características de polinômios de grau par.

Agora é com você!



Concluindo

Se você observou com cuidado os gráficos da função [Maple Math] para diversos valores pares de n deve ter concluído que o domínio destas funções é toda a reta e a sua imagem é o conjunto dos números reais não negativos, isto é, o intervalo [0, [Maple Math] ). Além disso, estas funções são decrescentes no intervalo ( [Maple Math] ) e crescentes no intervalo ( [Maple Math] ); seus gráficos passam pelos pontos (-1,1), (0,0) e (1,1) e são simétricos em relação ao eixo y, pois [Maple Math] , para todos os valores de x no dominio destas funções. Como já vimos, funções com esta propriedade são ditas pares. Em relação ao comportamento global destas funções, podemos observar que, os valores da função crescem ilimitadamente, quando o módulo de x cresce, quer x seja positivo, quer x seja negativo. Estas últimas observações, traduzidas em linguagem matemática, nos permitem afirmar que [Maple Math] e que [Maple Math] .

Generalizando

Como no caso n ímpar, o que gostaríamos de saber é se estas características podem ser observadas em qualquer polinômio de grau par? (Em outras palavras, se [Maple Math] é um polinômio de grau par, o que acontece com os valores de [Maple Math] quando x tende a + [Maple Math] ? E quando x tende a [Maple Math] ? ). Para responder a essa pergunta vamos fazer a mesma análise gráfica que utilizamos para estudar o comportamento no infinito dos polinômios de grau ímpar.

Agora é com você!




Concluindo

Se você realizou com atenção a atividade anterior, deve ter concluído que, como no caso de polinômios de grau ímpar, um polinômio de grau par se comporta como o seu monômio de maior grau quando x cresce em valor absoluto. Uma outra maneira de expressar este fato é dizer que um polinômio de grau par e o seu monômio de maior grau crescem à mesma velocidade ou que o limite do quociente dessas duas funções é igual a 1, quando x cresce em valor absoluto.

Agora é com você!


    (a) Comprove analiticamente a conclusão anterior.

    (b) Use o quadro ao lado para comprovar, graficamente, que os polinômios de grau par são funções pares (e, portanto, seus gráficos são simétricos em relação ao eixo y) se apresentarem somente monômios de grau par.

    (c) Comprove analiticamente a conclusão anterior.

    (d) Tente imaginar como são os gráficos das funções [Maple Math] e [Maple Math] . Faça um esboço destes gráficos numa folha de papel e comprove o seu palpite usando o quadro ao lado para obter os gráficos destas funções. (Ajuste, se necessário, a janela usada para o traçado do gráfico.)

É interessante notar, também, que a "velocidade" de crescimento ou decrescimento de cada uma dessas funções, isto é, a maneira como cada uma delas cresce, varia tremendamente com o valor de n e é diferente para valores de x entre -1 e 1 e para | x | > 1.

Agora é com você!



Concluindo

Pelas observações feitas na atividade anterior, é possível concluir que para valores de x entre -1 e 1 quanto maior o valor de n , mais próximo de zero estará o valor da função, ou em outras palavras, para cada valor de [Maple Math] , escolhido entre -1 e 1, os valores da seqüência [Maple Math] se aproximam cada vez mais de zero.

Já para valores de x maiores do que 1, ou menores do que -1, os valores da função [Maple Math] crescem mais rápido à medida em que n cresce, isto é os valores da função se tornam cada vez maiores, à medida em que n cresce.

Observação Importante



Vale notar também, que num polinômio

[Maple Math] +... + [Maple Math],

a constante [Maple Math] , representa a ordenada do ponto de interseção do polinômio com o eixo dos y. Logo, [Maple Math] = 0 significa que o polinômio corta o eixo dos y na origem, isto é que passa pela origem. Na cena ao lado, está traçado o gráfico do polinômio [Maple Math] . Observe que, nesse caso [Maple Math] e o gráfico da função corta o eixo y no ponto (0,10). Use o quadro para traçar gráficos de outros polinômios e comprovar a validade da observação acima.

Você é capaz de justificar, analiticamente a veracidade dessa afirmação?



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