Módulo III - Capítulo II
Aprendendo



Funções Polinomiais: Uma Análise Gráfica

O objetivo dessa seção é reconhecer o grau de um polinômio P(x), a partir da observação de seu gráfico. Esta pode ser uma tarefa nada simples. Para termos sucesso, precisamos ter muita atenção e prestar atenção às características locais e globais do seu gráfico. Para ajudar nesta tarefa, vamos fazer um resumo do que sabemos a cerca de polinômios e seus gráficos.

Os quatro gráficos abaixo ilustram algumas situações possíveis.

Podemos afirmar que o gráfico ao lado é de uma função suave e contínua que apresenta quatro raízes reais (por quê?) e se comporta no infinito com uma parábola com ao < 0. Estes fatos nos leva a identificá-lo como o de um polinômio de quarto grau.

A função cujo gráfico é mostrado ao lado é suave e contínua, apresenta uma mudança de curvatura e se comporta no infinito como uma reta. Portanto, embora apresente apenas duas raizes reais (por quê?), não pode ser do segundo grau. Este gráfico é de um polinômio do terceiro grau tendo uma raiz repetida em x = 1 (por quê?). Repare que, neste exemplo, o ponto (1, 0) é um máximo local da função f.

Este gráfico também é de um polinômio do terceiro grau pois se comporta no infinito como uma reta e, mais uma vez, notamos apenas uma mudança na sua curvatura: o seu gráfico ora se curva para cima, ora se curva para baixo. No entanto, este gráfico só corta o eixo x uma vez, o que indica que a função tem apenas uma raiz real. Este fato indica também que as outras duas raizes deste polinômio de terceiro grau são complexas conjugadas. Observe que raizes complexas não causam interseção do gráfico com eixo x.

No último gráfico, temos três mudanças na curvatura e a função se comporta no infinito como uma parábola. Trata-se de um polinômio de quarto grau com duas raizes reais repetidas em x = 0 ( ponto de mínimo local) e uma terceira raiz localizada entre 1 e 2.



Agora é com você!


Os gráficos abaixo representam funções polinomiais. O que se pode afirmar, em cada caso, a respeito do grau desses polinômios?

(a)
(b)
(c)

A análise gráfica também nos permite resolver desigualdades. A seguir mostramos, por meio de um exemplo, como isso é possível.

Exemplo

Ache todos os valores de x para os quais a desigualdade f(x) = 2x3 -7x2 -22x + 8 < 0 é verdadeira.

Solução

Comecemos por tentar encontrar os zeros dessa função. Como trata-se de um polinômio de terceiro grau, haverá pelo menos uma raiz real. Além disso, como polinômios são funções contínuas, existe um teorema, o Teorema do Valor Intermediário para funções contínuas, que garante que se f é uma função contínua, dados dois pontos arbitrários m e n, no domínio de f, tal que f(m) ¹ f(n), então f assume todos os valores entre f(m) e f(n). Assim, como a função que estamos analisando é um polinômio de terceiro grau e, portanto, é uma função contínua, se encontrarmos dois pontos x1 e x2, tais que f(x1) > 0 e f(x2) < 0, podemos garantir que entre x1 e x2, existe um ponto y, tal que f(y) =0. Além disso, pelo estudo do comportamento no infinito dos polinômios, podemos garantir, também, que estes dois pontos existem pois para valores negativos de x, grandes em valor absoluto, a função será negativa e para grandes valores positivos ela será positiva (por quê?). Para começar a busca por estes dois pontos, vamos calcular os valores de f em x = -5 e x = 5. Para estes valores temos f(5) = -432 e f(5) = 98. Assim, levando em conta as observações acima, podemos garantir que existe um zero de f entre 5 e -5. Vamos tentar encontrar este zero, calculando o valor de f para valores inteiros de x variando entre -4 e 4. Fazendo isso, obtemos: f(-4) = -208, f(-3) = -70, f(-2) = 0, f(-1) = 20, f(0) = 8, f(1) = -18, f(2) = -40, f(3) = -40, f(4) = 0.

Excelente! Encontramos dois zeros da função, o que nos faz concluír que a equação f(x)=0 tem de fato três raízes reais ( por quê? ). Com os pontos calculados podemos obter um esboço do gráfico e uma boa noção do comportamento de f. Unindo por segmentos de reta os pontos calculados, produzimos o gráfico ao lado que nos possibilita responder parcialmente a questão proposta. Já sabemos que f(x) será negativo para x < -2 e para x entre um número desconhecido (?) e 4. Este número desconhecido é o terceiro zero de f. . Para encontrá-lo, basta dividir o polinômio f(x) por ( x + 2 ) e depois por ( x - 4) . Ambas as divisões darão resto zero ( por quê?) e produzirão como quociente final um polinômio do primeiro grau, que é a equação de uma reta. A terceiro zero que procuramos será o valor de x para o qual esta reta corta o eixo dos x . Faça você as divisões dos polinômios e verifique os resultados encontrados:

[Maple Math] e [Maple Math]

[Maple Plot]

Logo a resposta final do nosso problema é: f(x) < 0 para [Maple Math] ou [Maple Math] < 4.

Resumindo

Para resolver a questão proposta, procuramos, de algum modo, descobrir os zeros da função f, o que equivale a escrevê-la na forma fatorada: f(x) = (x + 2) (x -4) (x -1/3) e determinamos o sinal de f, em cada um dos intervalos definidos por estes zeros, a saber, x < -2, -2 < x < 1/3 e x > 4. Como a função é contínua, ela não muda de sinal sem passar por um zero. Assim, calculando o valor da função em qualquer ponto desses intervalos, determinaremos o sinal da função em todo o intervalo considerado.

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