Os números representam um papel vital não só na matemática, como na ciência de um modo geral e na nossa vida diária. Vivemos cercados de números; horários, tabelas, gráficos, preços, juros, impostos, velocidades, distâncias, temperaturas, resultados de jogos, etc...

A maior parte das quantidades que estudaremos neste curso (áreas, volumes, taxas de variação, velocidades...) são medidas por meio de números reais e nesse sentido podemos dizer que o Cálculo se baseia no sistema dos números reais.

Um real é qualquer número que pode ser representado na forma decimal. O conjunto de todos os números reais é denotado pelo símbolo R .

O conjunto dos números reais contém alguns subconjuntos de fundamental importância, que foram surgindo a partir das necessidades do homem de resolver problemas práticos. Assim, o conjunto dos números naturais {1,2,3,...}, representado pelo símbolo N , surgiu da necessidade da contagem, que se realiza por meio da operação de "fazer corresponder".

A idéia de "correspondência" é uma das idéias básicas de toda a matemática. Quando contamos, isto é, apontamos para um objeto de uma coleção qualquer e dizemos um, apontamos para o seguinte e dizemos dois, e assim por diante, estamos estabelecendo uma correspondência, um para um, entre cada item desta coleção de objetos e a sucessão de números naturais. Assim, cada número representa a propriedade comum existente entre dois conjuntos com a mesma quantidade de elementos e contar significa estabelecer uma correspondência, um para um, entre cada item de uma coleção qualquer de objetos e a sucessão de números naturais.

A maneira mais simples para representar a idéia de número é a de atribuir a cada um deles, um símbolo que represente esta idéia ou propriedade comum.
Os romanos, por exemplo, usavam os símbolos I, V, X, D, C, L e umas regras complicadas de repetições e justaposições para representar os números. Por estas regras o número 15 era escrito como XV, 171 como CLXXI e 1400 como MCD. É fácil perceber que um sistema de numeração deste tipo, tem o grave inconveniente de não se poder ir muito longe, pois cada mudança de classe exigiria, pelo menos, a invenção de um novo símbolo e necessitaríamos de uma memória prodigiosa para sabê-los todos de cor! (Você é capaz de lembrar como se escreve o número 9052 no sistema de numeração romano?)
Se escrever estes números não é uma tarefa muito simples, já imaginou o que seria então "fazer contas" usando-se este sistema?!!

A necessidade de se inventar um sistema de numeração escrita onde usando-se poucos símbolos fosse possível representar qualquer número, por maior que fosse, e de se "fazer contas" de uma maneira rápida e fácil, levou à criação do sistema de numeração posicional, onde o valor de cada símbolo (algarismo) depende da posição ou classe que ele ocupa, e à criação de um símbolo (0) para preencher ou indicar classes vazias, que iria revolucionar os sistemas de numeração.
Para entender como o zero surgiu, precisamos conhecer um dos primeiros "computadores" conhecidos pela humanidade: o ábaco. O ábaco , inicialmente, consistia em meros sulcos feitos na areia onde se colocavam pedras. Cada sulco representava uma ordem. Assim, o primeiro sulco, da esquerda para a direita, representava as unidades; o segundo, as dezenas; o terceiro as centenas e assim por diante. Cada pedrinha colocada em um sulco correspondia à unidade da ordem do sulco, isto é, uma pedrinha no segundo sulco valia uma unidade de 2a ordem, que corresponde, no sistema de base 10, a 10 unidades simples. Dessa maneira, no ábaco desenhado na figura abaixo está representado o número 23, no sistema de numeração decimal.

Observe que a classe vazia do ábaco foi representada pelo símbolo 0 (zero). Foi este o procedimento dos hindus: para representar a coluna vazia do ábaco, eles introduziram um símbolo que chamaram de Sunya (vazio). Este nome passou para o árabe como Cifer, depois Zefir, e, finalmente, zero, em português.
Ficou claro agora, a grande vantagem do sistema de numeração chamado posicional? Com este sistema, não é mais necessário inventar símbolos novos para cada número: para o sistema decimal, por exemplo, bastam dez símbolos - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
O sistema de numeração posicional permite não só escrever os números de maneira muito simples mas também efetuar as operações muito facilmente (tente fazer uma conta bem simples usando o sistema de numeração romana e sinta a dificuldade!!).

Como vimos, da necessidade da contagem, que se realiza por meio da operação de "fazer corresponder", surgiu o conjunto dos números naturais {1,2,3,...}, representado pelo símbolo N .
Na sucessão dos números naturais podemos passar de um número para o seguinte juntando-lhe uma unidade . Assim, passamos do 1 para o 2, do 2 para o 3, e, dessa maneira, podemos ir tão longe quanto quisermos, isto é, dado um número n qualquer, por maior que ele seja, podemos sempre obter um número n +1, maior do que ele. Este fato exprime-se por qualquer dos seguintes enunciados:

(Na impossibilidade de listar todos os elementos do conjuntos dos naturais, usamos as reticências para evidenciar esta propriedade.)

Uma das deficiências apresentadas pelo conjunto dos números naturais é a impossibilidade da subtração. Para entender esta impossibilidade, considere um móvel que partindo de um ponto O, atinge um ponto P ao fim de 5 segundos, movendo-se a uma velocidade de 1 m/s. Podemos concluir que o ponto P está a uma distância de 5m do ponto O. Suponhamos, agora, que o móvel mude o sentido do movimento mas continue com a mesma velocidade por mais 3 segundos. Ao fim destes 3 segundos ele estará a 2m de distância do ponto O. Poderíamos chegar a esta conclusão a partir dos dois resultados parciais que expressam as duas fases do movimento, isto é subtraindo 3 (distância percorrida pelo móvel na segunda fase) de 5 (distância percorrida na primeira fase). Assim, a posição final do móvel poderia ser obtida por meio da operação .

Este resultado é impossível de obter, como anteriormente por meio de uma subtração, no conjunto dos números naturais, pois não existe nenhum número natural que represente o resultado da operação .

Esta deficiência dos naturais foi remediada ampliando-se esse conjunto e formando-se o conjunto dos números inteiros {...-2, -1, 0, 1, 2, ...}, denotado pelo símbolo Z ( da palavra alemã Zahl, que significa número).

Assim como os números naturais surgiram da necessidade de contar, os números racionais, que são expressos pela razão entre dois inteiros, surgiram da necessidade de medir.

Medir é comparar duas grandezas da mesma espécie - área com área, volume com volume, comprimento com comprimento, velocidade com velocidade e assim por diante. Para isso é necessário estabelecer um padrão de comparação para todas as grandezas da mesma espécie.

Parece que desta maneira resolvemos todos os nossos problemas de medição. Doce engano! Existem alguns números reais, tais como e , que não podem ser expressos como a razão entre inteiros . Isto quer dizer que em Q não podemos medir a diagonal de um quadrado de lado 1 ou a área de um círculo de raio 1, ou seja , as medidas dessa diagonal ou dessa área não podem ser expressas por um número racional. Este fato já tinha sido percebido pelos gregos na época de Pitágoras. Por esta razão estes números são chamados de irracionais. Podemos mostrar, com vários graus de dificuldade, que os números , , , , , , , , são todos irracionais.

Todo número real tem (pelo menos) uma representação decimal infinita. Se o número é racional e portanto, é a razão entre dois inteiros, efetuando-se a divisão, duas coisas podem acontecer: ou a divisão é exata ou a divisão dá origem a uma dízima periódica.

Por exemplo, 2 = 2.0 , = 0.5 , = 0.6666... , = 0.3171717... , = 1.285714285714...