Módulo I - Capítulo I
Aprendendo


Valor absoluto de um número e distância entre dois pontos

O valor absoluto ou módulo de um número a , denotado por | a |, é a distância de a à origem do sistema de coordenadas.

Distâncias são sempre positivas ou nulas. Assim, temos que

| a | ³ 0 , qualquer que seja o número real a .

Por exemplo, [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] .

Em geral, temos

[Maple Math] .

(Note que se a é negativo, [Maple Math] é positivo e a definição acima está de acordo com a nossa observação inicial que | a | ³ 0 .)

Exemplo

Expresse [Maple Math] sem usar o símbolo de valor absoluto.

Solução

[Maple Math] = [Maple Math]

Cuidado!

O símbolo [Maple Math] significa a raiz positiva de x . Assim, [Maple Math] significa que [Maple Math] e y ³ 0. Consequentemente, a equação [Maple Math] , só é verdadeira quando x ³ 0. Se x < 0, então [Maple Math] é positivo e neste caso temos que [Maple Math] . Em resumo, temos que

[Maple Math] .

Usando a definição de valor absoluto, temos que [Maple Math] , qualquer que seja x real.

Podemos usar o conceito de valor absoluto para definir a distância entre dois números reais quaisquer. Se a e b são dois números reais, a distância entre eles é o valor absoluto da sua diferença. Geometricamente, se a e b são as coordenadas de dois pontos A e B da reta numerada, a distância entre A e B, denotada por [Maple Math] , é o comprimento do segmento AB e, portanto, [Maple Math] = [Maple Math] .

Note que a distância entre o ponto O (origem) e qualquer ponto A da reta numerada é dada por [Maple Math] = [Maple Math] , o que está de acordo com a definição dada anteriormente para valor absoluto.

O conceito de valor absoluto tem outras importantes aplicações além da determinação de distâncias entre pontos. Em geral, usamos valor absoluto quando estamos interessados na magnitude, ou valor numérico, de um número real independentemente do seu sinal.


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