Módulo III - Capítulo II
Alargando Horizontes



Bisseção: um método numérico para encontrar os zeros de uma função

Como já vimos, o problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo da matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das raízes exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito complicadas e por isso são raramente usadas nos dias de hoje. No século XVII, um matemático norueguês, Niels Abel (1802-1829), que apesar de sua curta vida, contribuiu com vários resultados notáveis e importantes para o desenvolvimento da matemática, provou que não existe uma fórmula geral para o cálculo das raízes exatas de uma equação polinomial de grau maior ou igual a 5. Nesses casos, e mesmo em casos mais simples, muitas vezes é necessário recorrer a métodos numéricos para calcular aproximações para as raízes reais de uma dada equação.

No Capítulo I -Módulo II (Praticando), vimos como é possível utilizar um método gráfico (zooms sucessivos) para obter soluções aproximadas para os zeros de uma função. Além desses métodos gráficos, existem vários métodos recursivos ou iterativos ( do latim iterare = repetir, fazer de novo ) para calcular aproximações numéricas para as raízes reais de uma equação.

Esses métodos consistem em, partindo de uma estimativa inicial, repetir o mesmo procedimento várias vezes, usando-se a cada vez como estimativa o resultado obtido na vez anterior, isto é na última iteração feita, até se alcançar a precisão desejada. Abaixo descrevemos o método conhecido como da Bisseção.

Método da Bisseção



Este método consiste em encontrar por inspeção dois pontos [Maple Math] e [Maple Math] tais que [Maple Math] e [Maple Math] tenham sinais contrários. Se [Maple Math] ou [Maple Math] você encontrou a raiz procurada. Caso contrário, existe pelo menos uma raiz de f(x)= 0, entre [Maple Math] e [Maple Math] .

A figura ao lado ilustra este raciocínio. É fácil ver que f(- 4) < 0 e que f (- 2) > 0. Assim, existe um zero da função neste intervalo.



Agora é com você!

  • Para que tipo de funções esta última afirmação é verdadeira?

  • Que Teorema garante este resultado?

  • A função, cujo gráfico aparece ao lado, tem raízes reais em (-1,1)? Ela muda de sinal nesse intervalo?


[Maple Plot]

Considere agora o ponto [Maple Math] . Somente três casos podem acontecer: se [Maple Math] , a raiz procurada é igual a [Maple Math] , caso contrário, ou [Maple Math] e [Maple Math] têm sinais contrários e a raiz está entre [Maple Math] e [Maple Math] ou [Maple Math] e [Maple Math] têm sinais contrários e a raiz está entre [Maple Math] e [Maple Math] . Em qualquer dos casos a raiz pertence a um intervalo cujo comprimento é a metade do comprimento do intervalo anterior.

Repetindo-se o mesmo procedimento, encontra-se uma aproximação para a raiz da equação com a precisão desejada.

A cena abaixo permite que você entenda melhor este método. Nela, você pode modificar os parâmetros a5, a4, a3, a2, a1 e a0 que definem a função polinomial y = a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0. Variando estes parâmetros, você pode utilizar a cena para achar os zeros de qualquer função polinomial até o quinto grau. Use a representação gráfica da função, para determinar o intervalo onde existe um zero e escolher os valores iniciais para xo e x1 de tal forma que f(xo) < 0 e f(x1) > 0. Entre com esses valores nos campos correspondentes. Automaticamente, o programa calculará os valores de x2, ponto médio do intervalo [xo, x1], de f(x0), f(x1) e f(x2). Dependendo do sinal de f nesses três pontos, escolha o novo intervalo, [xo, x2] ou [x2, x1], onde estará localizado o zero procurado. Entre com o novo valor, substituindo o anterior para xo ou x1, conforme o caso, e comece tudo outra vez. O parâmetro i é um contador. Ele conta o número de interações realizadas. Você deve alterar o seu valor, a cada vez que entrar com um novo valor para um dos extremos do intervalo. Você também pode dar zoom no gráfico para ir acompanhando, graficamente, todo o processo.

Agora é com você!


Utilize a cena abaixo, para achar, com a maior precisão possível, todos os zeros reais das seguintes funções:

    (a) y = x5 + x3 -3x2
    (b) y = x5 + x3 -2x -4
    (c) y = 3x4 -4x3 -16
    (d) y = 3x3 + 8x2 -3x -4




Outra vez é com você!


  • Por que este método é chamado método da bisseção?

  • Para que funções esse método funciona e que teorema garante a sua validade ?

  • Como você pode estimar o erro cometido na enésima aproximação da raiz?

  • Quando devemos parar o procedimento acima?

  • Prove que a equação [Maple Math] tem pelo menos uma raiz real no intervalo [Maple Math] e use o método acima para calcular essa raiz com erro menor que 0,01.

  • Use o método da bisseção para determinar aproximações para as raízes reais da equação [Maple Math] com erro menor que 0,001.



Comparação entre métodos analíticos, gráficos e numéricos para achar zeros de funções



O método que se escolhe para encontrar os zeros de uma função polinomial depende da natureza da função e do grau de precisão que se quer obter. Uma comparação entre métodos analíticos, gráficos e numéricos revela vantagens e desvantagens de cada um deles.

O método de fatoração para achar zeros de polinômios analiticamente só é adequado quando é fácil achar os fatores do polinômio em questão.

O método gráfico de zooms sucessivos pode ser usado com qualquer polinômio mas às vezes é necessário um número muito grande de iterações para que a precissão desejada seja atingida. Outra desvantagem é a necessidade do uso de algum programa gráfico que suporte esta técnica.

O método númerico da bisseção pode ser utilizado com o uso apenas de uma calculadora (mesmo que isso dê um pouco mais de trabalho, é possível fazê-lo!) e temos controle sobre a precisão desejada para a aproximação obtida. Entretanto, para ser aplicado requer o conhecimento prévio de um intervalo contendo um zero. Um gráfico da função pode apontar este intervalo.

Métodos analíticos conduzem à solução exata. Métodos gráficos e numéricos, em geral, fornecem apenas aproximações da solução.

Embora nem métodos gráficos nem numéricos possam identificar zeros múltiplos, um gráfico pode indicar onde estes zeros podem estar presentes.

Como vimos no decorrer desse capítulo, achar zeros de uma função pode ser uma tarefa não muito fácil. Na maioria das vezes, para termos sucesso nesta tarefa, é necessário combinar dois ou mais métodos.



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