Módulo III - Capítulo III
Aprendendo



Descontinuidade e Assíntotas Verticais

Nas seções anteriores, vimos que os gráficos de funções racionais têm duas características principais que os distinguem dos gráficos de polinômios. Ao contrário do que acontece com polinômios, cujos gráficos são formados por uma única linha contínua, isto é, podem ser traçados sem que se tire o lápis do papel, os gráficos de funções do tipo [Maple Math] são constituídos por partes separadas por assíntotas verticais, isto é, existe uma "quebra" ou discontinuidade no gráfico. Funções cujos gráficos apresentam esta característica são ditas descontínuas. Além disso, para grandes valores de x em valor absoluto, o gráfico dessas funções se aproximam de uma reta, chamada assíntota horizontal.

Neste ponto é importante tentar descobrir se o gráfico de qualquer função racional apresenta as características descritas acima. Mais especificamente, o estudo das funções racionais deve nos conduzir à resposta das seguintes perguntas:

  • O gráfico de qualquer função racional é descontínuo em algum ponto?

  • Em todo ponto de descontinuidade existe uma assíntota vertical ao gráfico da função?

  • Como é possível determinar o comportamento de uma função racional perto de um ponto de descontinuidade, a partir de uma tabela ou da equação desta função?

  • O gráfico de qualquer função racional apresenta assíntotas horizontais?

  • Como uma tabela ou uma equação indicam o comportamento no infinito da função racional correspondente?

  • Quando uma função racional modela um problema físico, qual o significado físico das descontinuidades da função?

  • Quando uma função racional modela um problema físico, qual o significado físico do comportamento no infinito da função?

Esta seção é destinada a responder às cinco primeiras questões propostas. As duas últimas, são analisadas na seção O Mundo ao Nosso Redor.

Os exemplos estudados na seção anterior, sugerem que as possíveis descontinuidades de uma função racional estão localizadas nos pólos da função, isto é, nos pontos onde o seu denominador se anula. Quando estudarmos cálculo veremos que, de fato, esta observação é verdadeira. Esta observação nos faz concluir que a resposta a primeira das nossas indagações é não: nem toda função racional apresenta descontinuidade em algum ponto. É fácil obter exemplos de funções racionais cujos gráficos não apresentam nenhum ponto de descontinuidade.

Agora é com você!

Use o quadro ao lado para traçar o gráfico da função [Maple Math] e verificar que o gráfico desta função racional não apresenta nenhum ponto de descontinuidade e nenhuma assíntota vertical.



Para responder a segunda de nossas perguntas, vamos retornar ao Capítulo Funções e Gráficos. Naquele capítulo, estudamos a função [Maple Math] . Vimos que esta função é descontínua no ponto x = 1 e que, apesar disto, como mostra o quadro ao lado, o seu gráfico feito no computador parece ser o de uma reta!

[Maple Math]

[Maple Plot]

Por outro lado, a função [Maple Math] também é descontínua no ponto x = 1 e seu gráfico, mostrado ao lado, apresenta uma assíntota vertical neste ponto. Como é possível decidir se o gráfico de uma função racional apresenta ou não uma assíntota vertical num de seus pólos?

[Maple Math]

[Maple Plot]

Para responder a esta questão é preciso recorrer a informações dadas pelas tabelas e equações correspondentes a função em questão. Com isso estaremos também respondendo a terceira das perguntas formuladas no início desta seção: como é possível determinar o comportamento de uma função racional perto de um ponto de descontinuidade, a partir de uma tabela ou da equação desta função? A tarefa abaixo explora esta idéia.

Agora é com você!


Complete a tabela abaixo para as funções h(
x) e f(x). (Para ajudá-lo nessa tarefa, se necessário, use os quadros abaixo para calcular o valor das funções nos pontos indicados.)
(a) Como esta tabela mostra que a função h tem uma assíntota vertical em
x = 1?
(b) Como a tabela mostra que a função f não tem uma asíntota vertical em
x = 1?

x 0 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999
h(x)
f(x)
x 2 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001
h(x)
f(x)


A tabela acima revela o comportamento das funções h e f perto de seus pontos de descontinuidade. À medida em que x se aproxima de 1, | h(x) | cresce sem limite. Em linguagem matemática, escrevemos que [Maple Math] . Com esta notação queremos dizer que os valores da função h crescem sem limite à medida que x se aproxima de 1 pela direita, isto é, por valores maiores que 1. Por outro lado, quando x se aproxima de 1 pela esquerda, isto é, por valores menores que 1, os valores de h decrescem sem limite. Esta idéia é traduzida, em linguagem matemática, pela expressão [Maple Math] . O comportamento da função f é diferente: quando x se aproxima de 1, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores de f( x ) se aproximam de 2.

Estas conclusões podem ser obtidas a partir das equações que definem as funções. Quando x se aproxima de 1, quer pela direita, quer pela esquerda, o denominador de [Maple Math] se torna cada vez menor em valor absoluto e, portanto, o seu inverso é um número muito grande, em valor absoluto. Já no caso da função f, temos que [Maple Math] = x + 1, para [Maple Math] e, portanto, quando x se aproxima de 1, f( x ) se aproxima de 2. Repare que f( x ) não está definida em x = 1. Logo, f não é igual a função g(x) = x + 1, cujo domínio é toda a reta. A igualdade só se verifica para [Maple Math] . Tanto a tabela, como a equação que define a função f, indicam que f e g são iguais exceto no ponto (1,2) que não pertence ao gráfico de f. O gráfico de f, feito no computador, não é bastante preciso. Um gráfico melhor para esta função é mostrado ao lado. (Esta questão foi estudada em detalhes no Capítulo Funções e Gráficos. Volte a este capítulo se ainda tiver alguma dúvida.)

[Maple Plot]



Veja como as nossas observações são comprovadas com o auxílio do computador! Nos quadros abaixo, altere o valor de x, para x = 1 e observe em cada caso, a resposta que o computador nos fornece!

A descontinuidade da função f é chamada descontinuidade removível. Este nome se deve ao fato de que podemos remover esta descontinuidade simplesmente completando o gráfico da função com o ponto que está faltando! Para isto, basta definir f(1) = 2. A descontinuidade que a função h apresenta é dita uma descontinuidade do tipo infinito e é este tipo de descontinuidade que dá origem a assíntotas verticais.

Resumindo

Uma função racional [Maple Math] tem uma descontinuidade em x = a, se D(a) = 0. Esta descontinuidade é do tipo infinito, dando origem a uma assíntota vertical, se [Maple Math] .

Se N(a) = 0, a fração pode ser simplificada. Se na sua forma irredutível [Maple Math] , a descontinuidade é do tipo removível e o gráfico da função não apresenta assíntotas verticais neste ponto.

Agora é com você!


    Liste todos os pontos de descontinuidade de cada função e decida se cada descontinuidade dá origem a uma assíntota vertical ou é do tipo removível.

(a) [Maple Math]

(b) [Maple Math]

(c) [Maple Math]

(d) [Maple Math]



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