Da maneira como foi estabelecido o sistema de coordenadas, é fácil localizar os números inteiros numa reta numerada, como mostra a figura abaixo.

Os números racionais também podem ser localizados, facilmente. Por exemplo, se queremos representar um racional cujo denominador seja o número inteiro n, devemos dividir cada segmento de comprimento unitário em n partes iguais. Na figura abaixo fizemos n = 3, e com isso é fácil localizar todos os racionais cujo denominador é 3.

Mas, como é possível marcar na reta numerada os números irracionais?
Como já vimos, podemos obter o número , como a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos de comprimento unitário. (Fig. 1) Por sua vez , pode ser obtido como a medida da hipotenusa do triângulo retângulo em que um dos catetos é igual a um e o outro é igual a . (Fig.2)

De uma maneira geral, a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 e , mede . Assim, podemos marcar sobre uma reta todos os irracionais da forma . Mas, nem todos os irracionais são desta forma. Como localizar na reta numerada irracionais como o número , por exemplo?
O método neste caso consiste numa verdadeira perseguição ao número irracional. A idéia é "ir fechando o cerco" a estes números por aproximações racionais por falta e por excesso, cada vez melhores, de tal maneira que o número irracional esteja sempre entre essas aproximações.
Vamos ilustrar esta situação. Sabemos que está localizado entre 3 e 4. Tal fato pode ser indicado assim: Î [3,4], que significa que pertence ao intervalo compreendido entre 3 e 4. Esta localização é um pouco grosseira. Podemos melhorá-la bastante, observando que está entre 3.2 e 3.1, isto é Î [3.1,3.2], conforme indicado na figura abaixo.

Se dividirmos este último intervalo em 10 partes iguais, o número deve-se encontrar em um destes subintervalos. Neste caso, está entre 3.14 e 3.15, ou seja Î [3.14,3.15]. Veja abaixo.

Continuando assim, podemos localizar entre 3.141 e 3.142. Dessa maneira, vamos "apertando o cerco" em torno do número , por meio de intervalos cada menores. Se quisermos continuar na prática com esse procedimento, teremos que usar uma lente de aumento para marcar os próximos intervalos. Mas o que importa não é a possibilidade ou não de desenharmos no papel um intervalo de comprimento muito pequeno; o importante é entender a idéia de que à medida em que o tamanho dos intervalos diminui, as suas extremidades se aproximam cada vez mais e que sempre existirá um número, no caso deste exemplo , que se encontra dentro de um destes intervalos. Como podemos perceber também o "cerco" aos irracionais é um processo infinito.