Módulo I - Capítulo II
Aprendendo

Coordenadas no Plano

A idéia de localizar posições utilizando-se números, vem de longe e é usada em muitas situações da nossa vida.

Quando vamos ao teatro e temos um bilhete marcado G-7, sabemos que devemos nos dirigir à fileira (linha) G, cadeira (coluna) número 7.
Também quando localizamos uma cidade no mapa usamos a linha do Equador (horizontal) e o meridiano de Greenwich (vertical) para informar onde está esta cidade.
"Retas paralelas" ao Equador determinam a latitude de um ponto qualquer, isto é a distância, dada em graus, deste ponto ao Equador. Como o Equador divide a Terra em duas metades, pontos, no mapa, localizados acima dele têm latitude Norte e pontos localizados abaixo, latitude Sul. Da mesma maneira, "retas paralelas" ao meridiano de Greenwich determinam a longitude de um ponto ou sua distância em relação a este meridiano. Pontos localizados a sua esquerda têm longitude Oeste e pontos localizados a sua direita, longitude Leste.

No mapa ao lado, se cada uma das retas estão separadas por 10 graus, o ponto assinalado tem a sua posição determinada pelo par (20N, 40O). O primeiro elemento ou coordenada deste par determina a latitude (20 graus de latitude Norte) e o segundo, a longitute (40 graus de longitute Oeste).

O mapa abaixo representa a Ilha do Fundão onde está localizada a Universidade Federal do Rio de Janeiro. O Instituto de Matemática (IM) está assinalado neste mapa por um ponto vermelho dentro do Centro de Tecnologia.

[Maple Metafile]

Legenda
1 - Escola de Educação Física e Desportos
2 - Centro de ciências Matemáticas e da Natureza - CCMN
3 - Centro de Tecnologia - CT
4 - Faculdade de Letras
5 - Reitoria


Agora é com você

  • Como é possível localizar a posição do IM usando um par de números?
  • O que precisamos acrescentar neste mapa para que a localização seja precisa?
    Resposta

Clique na figura para ajuda

Em 1619, o filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650) percebeu que a idéia de determinar posições utilizando retas, escolhidas como referência, poderia ser aplicado à matemática. Para isso usou retas numeradas. Como já vimos, numa reta numerada cada ponto corresponde a um número e cada número corresponde a um ponto, definindo-se desta maneira, um sistema de coordenadas na reta.
Como o plano tem duas dimensões, para localizar pontos no plano, precisamos de dois números, ao invés de um. Descartes resolveu este problema usando duas retas numeradas, perpendiculares, cortando-se na origem. Usualmente, uma dessas retas é horizontal, com a direção positiva para a direita. Esta reta será chamada eixo x ou eixo das abscissas. A outra reta, vertical com a direção positiva para cima, é chamada eixo y , ou eixo das ordenadas.

A cada ponto P do plano fica associado um par de números ( x , y ), que são as coordenadas deste ponto. O número x é chamado abscissa desse ponto, e o número y é a sua ordenada. O número x mede a distância orientada do ponto P ao eixo y , e o número y mede a distância orientada do ponto P ao eixo x . Se P tem coordenadas x e y escrevemos [Maple Math]


[Maple Plot]

Clique na figura para observar como as coordenadas de um ponto variam de acordo com a sua localização no plano.

Se você executou a tarefa anterior pôde observar que a ordem na qual as coordenadas são escritas é importante. O ponto de coordenadas (1, 3) é diferente do ponto de coordenadas (3, 1). Neste sentido, dizemos que as coordenadas de um ponto formam um par ordenado de números reais.

Pelo esquema fixado, todo ponto P determina um par ordenado de números reais e reciprocamente, todo par ordenado de números reais ( a, b ) determina um único ponto do plano. Temos então uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. Uma correspondência desse tipo é chamada um sistema de coordenadas no plano .

O sistema de coordenadas que definimos é chamado sistema de coordenadas retangulares ou sistema de coordenadas cartesianas em homenagem ao matemático e filósofo francês René Descartes que primeiro definiu um sistema de coordenadas no plano, estabelecendo as bases de um novo ramo da Matemática chamado, hoje, Geometria Analítica. Parte do mérito da descoberta da Geometria Analítica deve ser creditado também, a um outro francês, Pierre Fermat (1601, 1665) que estabeleceu os mesmos princípios, mais ou menos na mesma época que Descartes.

O plano, munido deste sistema de coordenadas, é usualmente chamado plano coordenado ou plano cartesiano e é denotado pelo símbolo Â2 .

Agora é com você

  • O que é necessário para estabelecer um sistema de coordenadas no plano?
  • Os eixos x e y precisam necessariamente ser perpendiculares? ( Veja Problema 2)
  • É necessário indicar a escala usada?

Respostas

O eixo das abscissas e o eixo das ordenadas, usualmente colocados na posição indicada na figura abaixo, dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, indicados pelos símbolos i , ii, iii, iv, respectivamente.

O primeiro quadrante é o conjunto de todos os pontos ( x , y ) do plano para os quais x > 0 e y > 0; o segundo quadrante é o conjunto de todos os pontos ( x , y ) do plano para os quais [Maple Math] e y > 0; no terceiro temos x < 0 e y > 0 e, no quarto, x > 0 e y < 0.

[Maple Plot]

Clique na figura e comprove as afirmações ao lado.

Como a correspondência entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de números reais é biunívoca, em geral, nos referimos a um ponto P como o ponto (1,2) ou o ponto (x, y ) quando, na realidade queremos nos referir ao ponto P cujas coordenadas são (1,2) ou ( x , y ). Assim, quando escrevemos [Maple Math] significa, sem ambigüidade, que estamos nos referindo ao ponto P cujas coordenadas são dadas, de modo único, pelo par ordenado ( x , y ) de números reais. Repare que a notação usada para intervalo aberto ( a , b ) é a mesma usada para o ponto cujas coordenadas são a e b . Dependendo do contexto onde estas notações forem usadas, você deverá ser capaz de fazer a distinção!

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