Módulo I - Capítulo II
Aprendendo


Transformações de Semelhança

Translações, reflexões e rotações são isometrias, isto é, são transformações que preservam a distância entre dois pontos do plano. A partir desta propriedade podemos provar que isometrias mudam a posição do desenho, mantendo a forma e o tamanho da figura original. Por isso, figuras obtidas a partir de isometrias são ditas congruentes.

Nem todas as transformações geométricas do plano possuem a propriedade descrita acima. Em linguagem coloquial, dizemos que duas figuras são semelhantes quando têm a "mesma forma" mas "tamanhos diferentes". Com esta frase queremos dizer que a distância entre pontos não precisa ser necessariamente preservada (tamanhos diferentes) mas sim, os ângulos formados por segmentos concorrentes (mesma forma).

Em termos matemáticos mais precisos, duas figuras no plano são semelhantes quando uma é a imagem da outra por meio de uma transformação de semelhança do plano.

Transformações de semelhança são transformações do plano que multiplicam as distâncias entre dois pontos por uma constante positiva k , chamada fator de escala. Mais precisamente, se P e Q são dois pontos da figura original cuja distância é dada por PQ e se os pontos, P' e Q' são, respectivamente, os pontos obtidos a partir de P e Q, por uma transformação de semelhança, temos que a distância P'Q' é igual a k (PQ), para algum número positivo k . Isto é, a distância de P' a Q' é igual a k vezes a distância de P a Q . Se a constante k é igual a 1, esta transformação preserva as distâncias e, como já vimos, é chamada de isometria.
Rotações, translações e reflexões são exemplos de transformações de semelhança. Nestes casos, o fator de escala
k é igual a 1 e, portanto, estas transformações são isometrias.

Homotetias são outros exemplos de transformações de semelhança.

Homotetias

Homotetias são transformações que, mantendo um ponto fixo O, chamado centro da homotetia, multiplicam a medida de qualquer segmento de reta que passe por este ponto, por um fator constante a, chamado razão da homotetia.

Em outras palavras, homotetias mantêm um ponto fixo e "esticam" ("contraem") os segmentos de reta que passam por este ponto por um fator constante a.

Esta propriedade das homotetias é usada para "ampliar" ou "diminuir" o tamanho das figuras. A figura ao lado ilustra como homotetias "esticam" ("contraem") os segmentos de reta que passam por seu ponto fixo que, neste exemplo, é o ponto (0,0). Veja como esta transformação causa uma "ampliação" ("contração") da figura original. Esta é a transformação geométrica que está por trás das técnicas de ampliação-redução usadas por desenhistas e fotógrafos.

Uma homotetia será uma isometria quando [Maple Math] . Quando [Maple Math] , as homotetias mudam o tamanho do desenho original, mas não a sua forma. Se a > 1, esta transformação aumenta o tamanho da figura original sendo, então, chamada de dilatação. No caso em que [Maple Math] o tamanho da figura original será diminuído e a transformação é dita uma contração. A figura original e a obtida após esta transformação são ditas semelhantes.

Na figura, o peixinho verde ilustra o efeito geométrico obtido quando aplicamos uma homotetia desse tipo sobre o desenho original. Neste exemplo, os dois peixes são semelhantes. Como vimos no exemplo anterior, o peixinho maior (uma ampliação do menor) foi obtido multiplicando-se por dois as medidas dos segmentos de reta que ligam o ponto (0,0) aos pontos que pertencem ao peixinho vermelho. Neste caso, o centro da homotetia (seu ponto fixo) é o ponto (0,0) e a sua razão a é igual a 2.

[Maple Plot]


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Podemos mostrar que qualquer transformação de semelhança no plano é uma combinação de translações, rotações, reflexões, e homotetias.

Homotetias e Coordenadas

Algumas homotetias são muito fáceis de caracterizar, relacionando as coordenadas dos pontos originais com as coordenadas dos pontos transformados. A atividade a seguir visa explorar esta idéia.

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  Teste as suas conclusões


Que mudança de coordenadas corresponde a dilatação de uma figura, em relação à origem, por um fator de escala igual a 2?

[Maple Plot]


Deformações



Outras transformações deformam a figura original. Observe no desenho, o efeito causado pelas substituição de ( x ,y) por (2 x , y ). Esta transformação deforma ("estica") o desenho original, na direção horizontal, por um fator de escala 2.

[Maple Plot]



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