Módulo I - Capítulo III - Aprendendo


Gráficos de Equações

A idéia básica da Geometria Analítica é explorar a correspondência entre pontos e suas coordenadas para estudar problemas geométricos, especialmente as propriedades de curvas, com os instrumentos da Álgebra. Dessa maneira, podemos usar o ferramental computacional da Álgebra em problemas geométricos e este foi o grande avanço na Geometria desde os tempos dos gregos. A seguir damos alguns exemplos de como isto pode ser feito.

Exemplo 1

A equação [Maple Math] descreve uma relação entre as variáveis x e y . Uma solução desta equação é um par ordenado de números reais que, quando substituído na equação dada, produz uma sentença verdadeira. Assim, os pares (0, - 1), (1,1), ( [Maple Math] ) são todos soluções da equação em questão. O gráfico desta equação é o conjunto de todos os pontos no plano coordenado que são soluções da mesma. Mais geralmente, uma equação da forma [Maple Math] determina uma curva no plano, cujo gráfico é o conjunto de todos os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equação dada. Reciprocamente, uma curva definida por alguma condição geométrica pode, usualmente, ser descrita por uma equação da forma [Maple Math] .

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Vamos esboçar o gráfico de [Maple Math] . Começamos determinando pontos com coordenadas ( x , y ) que satisfazem a equação dada. É conveniente fazer uma tabela com estes pares e marcar estes pontos no plano coordenado.

x -2 -1 0 1 2
y -5 -3 -1 1 3


A próxima etapa é marcar estes pontos no plano cartesiano, com fazemos na figura ao lado.

[Maple Plot]

Como existem infinitas soluções para a equação dada não é possível completar a tabela e,consequentemente, o gráfico da equação, listando todas as soluções. Em geral, os poucos pontos que calculamos não seriam suficientes para identificar o gráfico da equação, entretanto, neste exemplo elementar, pelos pontos obtidos, podemos conjecturar que o gráfico da equação [Maple Math] é a reta que mostramos abaixo, em conjunto com o primeiro esboço.

[Maple Plot]

[Maple Plot]


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No decorrer deste curso, provaremos que o nosso palpite está correto e que o gráfico de uma equação do tipo [Maple Math] define uma reta no plano.

A técnica de se esboçar gráficos marcando um número suficiente de pontos até que se obtenha um padrão e de traçar o gráfico de acordo com este padrão, carece de rigor e é muito imprecisa, podendo levar a conclusões completamente errôneas. O próximo exemplo ilustra os problemas que podem surgir.

Exemplo 2

Vamos esboçar o gráfico da equação [Maple Math] .

Como a relação dada não expressa y em termos de x , o que necessariamente não precisa acontecer, devemos decidir se o primeiro número do par ordenado, a abscissa do ponto, representará q ou p . Qualquer escolha estará correta, no entanto, como a equação expressa q em termos de p , é usual marcamos p no eixo horizontal. Construindo a tabela teríamos.

p -3 -2 -1 0 1 2 3
q 1 2 5 10 5 2 1

Marcando os pontos no plano coordenado e interligando-os com uma curva suave teríamos as várias possibilidades, algumas tais quais mostradas abaixo:

[Maple Plot]

[Maple Plot]

[Maple Plot]

[Maple Plot]

Para decidir quais dos gráficos é o correto precisaríamos marcar muitos outros pontos! (É dessa maneira que os computadores traçam gráficos.

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(Veja também a seção Praticando.)
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Durante este curso aprenderemos técnicas que permitirão traçar gráficos, sem necessidade de marcar muitos pontos. Por ora, nas próximas seções, vamos estudar algumas curvas especiais e seus gráficos.

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