A idéia básica da Geometria Analítica é explorar a correspondência entre pontos e suas coordenadas para estudar problemas geométricos, especialmente as propriedades de curvas, com os instrumentos da Álgebra. Dessa maneira, podemos usar o ferramental computacional da Álgebra em problemas geométricos e este foi o grande avanço na Geometria desde os tempos dos gregos. A seguir damos alguns exemplos de como isto pode ser feito.

A equação descreve uma relação entre as variáveis x e y . Uma solução desta equação é um par ordenado de números reais que, quando substituído na equação dada, produz uma sentença verdadeira. Assim, os pares (0, - 1), (1,1), ( ) são todos soluções da equação em questão. O gráfico desta equação é o conjunto de todos os pontos no plano coordenado que são soluções da mesma. Mais geralmente, uma equação da forma determina uma curva no plano, cujo gráfico é o conjunto de todos os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equação dada. Reciprocamente, uma curva definida por alguma condição geométrica pode, usualmente, ser descrita por uma equação da forma .

Vamos esboçar o gráfico de . Começamos determinando pontos com coordenadas ( x , y ) que satisfazem a equação dada. É conveniente fazer uma tabela com estes pares e marcar estes pontos no plano coordenado.

Como existem infinitas soluções para a equação dada não é possível completar a tabela e,consequentemente, o gráfico da equação, listando todas as soluções. Em geral, os poucos pontos que calculamos não seriam suficientes para identificar o gráfico da equação, entretanto, neste exemplo elementar, pelos pontos obtidos, podemos conjecturar que o gráfico da equação é a reta que mostramos abaixo, em conjunto com o primeiro esboço.

No decorrer deste curso, provaremos que o nosso palpite está correto e que o gráfico de uma equação do tipo define uma reta no plano.

A técnica de se esboçar gráficos marcando um número suficiente de pontos até que se obtenha um padrão e de traçar o gráfico de acordo com este padrão, carece de rigor e é muito imprecisa, podendo levar a conclusões completamente errôneas. O próximo exemplo ilustra os problemas que podem surgir.

Vamos esboçar o gráfico da equação .

Como a relação dada não expressa y em termos de x , o que necessariamente não precisa acontecer, devemos decidir se o primeiro número do par ordenado, a abscissa do ponto, representará q ou p . Qualquer escolha estará correta, no entanto, como a equação expressa q em termos de p , é usual marcamos p no eixo horizontal. Construindo a tabela teríamos.

Marcando os pontos no plano coordenado e interligando-os com uma curva suave teríamos as várias possibilidades, algumas tais quais mostradas abaixo:

Para decidir quais dos gráficos é o correto precisaríamos marcar muitos outros pontos! (É dessa maneira que os computadores traçam gráficos.

Durante este curso aprenderemos técnicas que permitirão traçar gráficos, sem necessidade de marcar muitos pontos. Por ora, nas próximas seções, vamos estudar algumas curvas especiais e seus gráficos.