Módulo I - Capítulo IV - Aprendendo


Reta: Uma curva muito especial

No capítulo Gráficos de Equações, conjecturamos que a equação [Maple Math] representava uma reta no plano coordenado. Vamos agora provar esta conjectura resolvendo o problema inverso, isto é, mostrando que a equação de uma determinada reta é da forma [Maple Math] . Esta equação deve ser satisfeita pelas coordenadas dos pontos da reta e por nenhum outro ponto. Para achar esta equação vamos usar o fato de que toda reta é determinada por dois pontos e que a ela está associado um número que mede a sua inclinação. Este número é chamado declividade ou coeficiente angular da reta.

Definição



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Usando semelhança de triângulos, é fácil ver que a declividade de uma reta independe dos pontos escolhidos, isto é, quaisquer que sejam os pontos escolhidos sobre a reta, a relação

[Maple Math] = [Maple Math]

é constante.

Geometricamente, podemos interpretar a declividade de uma reta como uma medida (tangente) do ângulo w que a mesma faz com a direção horizontal. Veja a figura ao lado.

[Maple Plot]

Se a reta é vertical, todos os seus pontos têm a mesma abscissa. Portanto, se a reta é vertical e passa por um ponto [Maple Math] , sua equação é dada por [Maple Math] e sua declividade não está definida.

Além disso, concluímos também que retas com declividades positivas ascendem para a direita e retas com declividade negativa descendem para a direita. De fato, sejam [Maple Math] e [Maple Math], dois pontos da reta considerada, com x1 > x0. Desse modo, temos que (x1 - x0) > 0. Se [Maple Math] > 0, podemos concluir que o numerador e o denominador dessa fração têm o mesmo sinal.

Assim, como (x1 - x0) > 0, temos necessariamente que (y1 - y0) > 0, isto é, y1 > y0. Em outras palavras, dados dois pontos quaisquer P0 e P1, sobre uma reta de declividade positiva, se a abscissa do ponto P1 é maior que a abscissa do ponto P0, então a ordenada do ponto P1 é maior que a ordenada do ponto P0, isto é, a reta ascende para a direita. (Veja a figura ao lado). Analogamente, demonstra-se que se [Maple Math] a reta descende para a direita. Se [Maple Math] a reta é paralela ao eixo x .



Podemos notar, ainda, que as retas mais inclinadas são aquelas para as quais o valor absoluto da declividade é maior.

[Maple Plot]


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1) Nos itens abaixo, estime a declividade da reta representada no gráfico dado:

(a)

[Maple Plot]
Respostas

(b)

[Maple Plot]
Respostas

2) Qual das retas abaixo tem a maior declividade. Justifique a sua resposta:

[Maple Plot]

[Maple Plot]
Respostas



A declividade de uma reta pode também ser interpretada como a taxa de variação da variável y em relação à variável x . Para entender melhor a afirmação anterior, interprete a reta como sendo uma montanha. Se a montanha (reta) tiver declividade m, cada m unidades de subida (ou descida) corresponde a um deslocamento de uma unidade na direção horizontal. Isto quer dizer que, se uma reta tem declividade m , a cada unidade de variação na direção horizontal, corresponderá m unidades de variação na direção vertical. A variação vertical poderá ser para cima ou para baixo, dependendo do sinal de m. À variação de y correspondente à variação de uma unidade em x, chamamos taxa de variação de y em relação à x.

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Pelas observações acima concluímos que, em uma reta, a taxa de variação m = [Maple Math] é constante e, além disso, qualquer curva cuja taxa de variação seja constante é uma reta.



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