Módulo I - Capítulo IV - Aprendendo


Retas Paralelas e Perpendiculares

Duas retas quaisquer no plano ou não se interceptam, ou são coincidentes, ou se interceptam em um único ponto.

Agora é com você


Clique aqui para explorar essas idéias.



Quando duas retas se interceptam, dizemos que são concorrentes. Neste caso, suas declividades são, necessariamente, diferentes.Veja exemplo ao lado.

[Maple Plot]

Determinar o ponto de interseção destas retas equivale a encontrar a solução (única) do sistema simultâneo de equações [Maple Math] e [Maple Math] . Resolvendo este sistema obtemos o par ( [Maple Math] ) que fornece as coordenadas do ponto de interseção das duas retas. Na seção Praticando você poderá explorar um pouco mais essas idéias.

Duas retas com a mesma declividade são paralelas ou coincidentes. Se duas retas têm a mesma declividade e algum ponto em comum então necessariamente, elas são coincidentes. Caso contrário, as retas serão paralelas, isto é, retas paralelas são aquelas que têm a mesma declividade e nenhum ponto em comum.

A animação ao lado ilustra estas afirmações. Repare que estas retas ou não têm ponto comum ou coincidem.

[Maple Plot]


As retas [Maple Math] e [Maple Math] , que têm a mesma declividade [Maple Math] , são coincidentes (repare que estas retas passam pelo ponto ( [Maple Math] )).

[Maple Plot]

Neste caso, as equações [Maple Math] e [Maple Math] são ditas equivalentes, pois definem a mesma reta. (Repare que qualquer ponto (x,y) que seja satisfaça a primeira equação também satisfaz a segunda.)

Retas paralelas têm a mesma declividade e nenhum ponto em comum.

[Maple Plot]

Duas retas que se interceptam formando um ângulo reto são ditas perpendiculares.

Agora é com você


Clique aqui para explorar essas idéias.



Usando semelhança de triângulos, é fácil provar que duas retas com declividades [Maple Math] e [Maple Math] são perpendiculares se e somente se [Maple Math] .

Suponhamos que as retas sejam perpendiculares como mostra a figura abaixo. Desenhamos um segmento de comprimento unitário à direita do ponto de interseção e traçamos, a partir de sua extremidade direita, um segmento vertical que intercepta as duas retas.

Os dois triângulos retângulos formados dessa maneira são semelhantes e têm lados com os comprimentos indicados. A semelhança implica que [Maple Math] , o que prova a relação que queremos. Este raciocínio pode ser facilmente invertido e portanto se [Maple Math] , então as retas são perpendiculares.

[Maple Plot]



Exemplo 2

Ache a equação da reta que passa pelo ponto (5,2) e é paralela à reta [Maple Math] .

Solução

A equação da reta dada pode ser escrita como [Maple Math] . Logo, [Maple Math] . Como retas paralelas têm a mesma declividade, a equação da reta procurada é [Maple Math] ou [Maple Math] .

Exemplo 3

Mostre que as retas [Maple Math] e [Maple Math] são perpendiculares.

Solução

As equações dadas podem ser escritas como [Maple Math] e [Maple Math] . Assim, seus coeficientes angulares são [Maple Math] e [Maple Math] , respectivamente. Como [Maple Math] , as retas são perpendiculares.

Seção Anterior