Módulo II - Capítulo I
Aprendendo


Funções e Gráficos: Motivação

Problemas do tipo :

onde é necessário a determinação dos valores máximos e/ou mínimos aparecem comumente no nosso dia a dia. Nesta seção, tentaremos analisar um problema (simples) desse tipo com os conhecimentos matemáticos de que dispomos até o momento.

O Problema da caixa


Um pedaço de folha de plástico quadrada de lado igual a 20 cm deve ser transformada em uma caixa de água, sem tampa superior, cortando-se quadrados em seus quatros cantos e levantando-se os quatros retângulos resultantes para formar as laterais da caixa. O problema é descobrir como se deve cortar os cantos desta folha de modo a formar, quando completamente cheia, uma caixa de maior volume possível?
Para entender o problema, vamos imaginar que cortamos, nos quatros cantos da folha, quadrados de lados com distintos comprimentos x, como mostra a figura ao lado, e imagine a caixa que é possível construir levantando-se os quatro retângulos que sobram para formar as laterais.
Clique aqui para entender melhor.

[Maple Plot]

Considerando a figura acima, o problema consiste em determinar o valor de x , a ser cortado, para obtermos a caixa de volume máximo.

Observe que à medida em que x varia, o volume também varia , isto é, o volume da caixa depende da variável x que, neste problema, representa o tamanho do corte que determinará a altura da caixa a ser montada. Dizemos, então, que o volume é uma função de x.

Agora é com você!


Clique aqui para explorar esta idéia.

Neste caso, a expressão matemática que fornece o volume da caixa, para cada valor particular de x , é dada por: [Maple Math] .

Repare ainda que, pela geomeria do problema ( x é o tamanho do corte a ser feito dos dois lados de um pedaço de papelão quadrado de 20cm de lado), x só pode assumir valores entre zero e 10.

Análise Numérica


Para determinar o valor de x , a ser cortado, para que o valor V do volume atinja o seu máximo, podemos fazer uma tabela ou lista mostrando o valor do volume para vários valores de x. Como x varia entre 0 e 10, iremos formar uma tabela com n +1 pontos, incluindo 0 e 10.

x

  0  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V(x)

  0  324 512 588 576 500 384 252 128 36 0

Pela análise da lista acima, verificamos que o valor máximo do volume parece ocorrer para valores de x entre 2 e 4, mas este resultado é muito impreciso.

É claro que podemos calcular o valor do volume para um número maior de valores de x e, assim, melhorar a precisão do resultado encontrado acima. No entanto, tabelas muito grandes se tornam cansativas e, até mesmo, difíceis de analisar. (Isto sem falar que este tipo de cálculo se torna muito cansativo, especialmente se estamos fazendo as contas "a mão" e, mesmo para quem dispõe de um computador, este não parece ser um bom método para determinar o máximo de uma função, não é mesmo?!!)

Análise gráfica


Outro modo de tentar calcular o valor máximo de V é fazer uma análise gráfica onde se explicite visualmente a relação existente entre as duas variáveis envolvidas no problema: V (volume da caixa) e x (tamanho do corte). Para isso, vamos usar as tabelas anteriores, marcar os pontos no plano cartesiano e unir estes pontos por uma curva suave. Observe ao lado, o resultado obtido.

Clique aqui para explorar este gráfico..

[Maple Plot]

Observando este gráfico, verificamos, mais uma vez, que à medida que x varia, os valores correspondentes para V, crescem até atingir um valor máximo depois decrescem até zero.

O problema consiste em determinar, exatamente, onde ocorre o valor máximo (ou mínimo) dessa, ou de outra função qualquer. Esses pontos tem uma característica geométrica especial. Clique aqui para experimentar e descobrir que caracterítica é esta.

Como você deve ter concluído, a reta tangente a uma curva nos dá uma pista excelente para determinar pontos de máximo ou de mínimo de uma função: basta procurá-los dentre os pontos do seu gráfico onde existe uma reta tangente horizontal!!

Conclusão

Para resolver problemas desse tipo temos que:

1 - Encontrar uma relação entre as variáveis envolvidas no problema. No exemplo que estudamos, estas variáveis são

VOLUME da caixa e tamanho do CORTE

No exemplo estudado, a relação encontrada fornece o valor do volume V da caixa para cada tamanho x do corte. Neste caso, dizemos que o volume (V) é uma função do corte ( x ).

2- Determinar os pontos onde existe uma reta tangente horizontal ao gráfico da função encontrada no primeiro passo.


Neste exemplo e nos capítulos anteriores, vimos que relações quantitativas, expressas por equações, gráficos ou tabelas, podem ser usadas para modelar e resolver problemas. Neste capítulo estudaremos, a relação muito particular e especial, chamada em matemática de função.

O estudo de retas tangentes a uma dada curva e suas aplicações será objeto da disciplina de Cálculo I, a ser vista no próximo semestre.

Começaremos o nosso estudo com alguns exemplos.

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