Módulo II - Capítulo I
Aprendendo


Função como uma regra

Para resolver os problemas propostos nos exemplos da seção anterior, foi preciso deduzir uma lei ou fórmula matemática que determinasse, precisamente, a dependência existente entre as variáveis envolvidas em cada caso. Essa lei ou correspondência é o que chamamos de função.

Resumindo

Sejam D e I dois conjuntos quaisquer. Uma função f definida em D é uma regra ou lei de correspondência que associa a cada elemento do conjunto D um único elemento do conjunto I .

Em particular, se os conjuntos D e I forem conjuntos de números reais, a cada número real x de D , deve corresponder, pela f, um único número real y em I .

O conjunto D dos valores permitidos para x chama-se domínio da função e o conjunto dos valores correspondentes de y chama-se imagem da função. O conjunto imagem portanto, é um subconjunto de I . O conjunto I é denominado contradomínio de f .

Costuma-se chamar x de variável independente, porque ela é livre para assumir qualquer valor do domínio e chamar y de variável dependente, porque seu valor depende da escolha de x .

[Maple OLE 2.0 Object]



Agora é com você!

Observe que na definição de função exigimos que a cada elemento do domínio, seja associado um único (um e apenas um) elemento da imagem. A razão dessa exigência não se deve a nenhuma restrição matemática. É uma convenção que tem por origem as descrições de fenômenos físicos e biológicos que são feitas por funções do tempo, ou seja, funções cuja variável independente é o tempo. O tempo, como os físicos o concebem, é uma grandeza monótona estritamente crescente, isto é , que não volta nunca para trás e portanto, as relações que descrevem fenômenos físicos, associam a cada tempo um só evento dando origem à definição de função na forma como a entendemos hoje.

Exemplo 5

A correspondência que associa a cada número real o seu quadrado [Maple Math] é uma função definida pela equação [Maple Math] . O domínio de f é o conjunto  de todos os números reais. A imagem de f consiste de todos os valores de f(x), isto é, de todos os números que são da forma [Maple Math] . Como [Maple Math] ³ 0, qualquer que seja o número x , temos que a imagem de f é o conjunto de todos os números reais positivos. Usamos o símbolo Â+ para representar este conjunto, isto é,  + = [0, [Maple Math] ).

O domínio de uma função depende do contexto onde estamos trabalhando. A fórmula [Maple Math] pode ser calculada para qualquer valor real de x . No entanto, se esta fórmula representar a medida do lado de um triângulo equilátero, não faz sentido considerarmos valores negativos para x, pois estaremos trabalhando com medidas de segmentos,. Assim, os valores permitidos para x , neste caso, isto é, o domínio da função A, será o conjunto de todos os números reais positivos.

Exemplo 6

Se definirmos uma função por [Maple Math] , para 0 £ x £ 3, então o domínio de g é o intervalo fechado [0,3] e sua imagem é o intervalo [0,9]. Essa função é diferente da função dada no exemplo 5, porque seus domínios e suas imagens são diferentes.

Assim, temos a definição a seguir.

Definição:

Dizemos que duas funções y= f(x) e y=g(x) são iguais se elas têm o mesmo domínio e se f(x)=g(x) para todos os valores de x, do seu domínio comum.

Exemplo 7

Considere a função [Maple Math] . Para [Maple Math] , temos que [Maple Math] = [Maple Math] .

As funções [Maple Math] e [Maple Math] são iguais?

Agora é com você!

No exemplo 6 o domínio da função foi dado explicitamente. Já nos exemplos 5 e 7, o domínio das funções não foi especificado explicitamente. Se uma função é dada por uma fórmula e seu domínio não é indicado explicitamente, entende-se que o seu domínio é o maior possível, isto é, o conjunto de todos os números para os quais a fórmula faça sentido e defina um número real.

Exemplo 8

Ache o domínio da função [Maple Math] .

Solução

Como [Maple Math] = [Maple Math] e a divisão por zero não faz sentido, vemos que f não está definida quando x = 0 ou x = 1. Consequentemente, o domínio de f é { x Î Â ; [Maple Math] e [Maple Math] }, ou usando a notação de intervalos ( [Maple Math] ,0) È (0,1) È (1, [Maple Math] ).

Exemplo 9

Ache o domínio de [Maple Math] .

Solução

Como, no conjunto de números reais, raízes quadradas de números negativos não estão definidas, o domínio de h consiste de todos os valores de x para os quais [Maple Math] ³ 0. Resolvendo esta inequação vemos que o domínio de h é { x Î Â ; -2 £ x £ 1} = [-2,1].

Nem sempre é fácil determinar a imagem de uma função. Por isso, é uma prática comum escolher um conjunto que contenha todos os possíveis valores da variável dependende. Este conjunto é o contra-domínio da função. Como, em geral, estamos tratando com fórmulas que produzem números como variáveis de saída, é mais fácil escolher  , o conjunto de todos os números reais, como contra-domínio da função. Neste sentido estas funções são chamadas função com valores reais, ou simplesmente, funções reais.

Para indicar a indissociabilidade dos três elementos que definem uma função (domínio, fómula (regra) e contra-domínio) usamos a notação:

f: Â+ ® Â

x |® x2

Com esta notação designamos a função f , cujo domínio é o conjunto dos reais positivos, o contra-domínio é o conjunto dos números reais e que a cada número real positivo faz corresponder o seu quadrado.

Se considerarmos que o contra-domínio desta função é o conjunto dos números reais, podemos escrever, [Maple Math] , para x ³ 0, ou, simplesmente [Maple Math] , se o domínio estiver implícito no contexto.

Como vimos, podemos representar uma função por uma tabela, por uma expressão matemática do tipo [Maple Math] , ou por um gráfico. Devido a importância da representação gráfica de uma função, iremos estudá-la com mais detalhes nas próximas seções.



Seção Anterior

Próxima Seção