Módulo II - Capítulo I
Aprendendo


Gráficos de Funções: Definição e Exemplos


O termo gráfico em matemática, geralmente é usado quando estamos descrevendo uma figura por meio de uma condição que é satisfeita pelos pontos da figura e por nenhum outro ponto.

Uma das representações gráficas mais comuns e importantes em matemática é o gráfico de uma função.

Podemos representar graficamente uma função usando vários tipos de gráficos: gráficos de barras, correspondência ou relação entre conjuntos, gráfico cartesiano.

Como já vimos nos exemplos das seções anteriores, o gráfico cartesiano de uma função é o conjunto de todos os pontos ( [Maple Math]) do plano que satisfazem a condição [Maple Math] , ou seja, o gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos do plano da forma ( [Maple Math]), com x variando no domínio de f.

Os gráficos cartesianos permitem visualizar "a forma " geométrica de uma função e suas principais características.

Agora é com você!

Além disso, como a coordenada y de qualquer ponto (x,y) do gráfico de uma função f, é igual ao valor desta função calculada em x, podemos obter o valor de f(x) por meio do gráfico desta função, simplesmente como a altura do gráfico correspondente ao ponto de abscissa igual a x.

Agora é com você!

Modifique o valor da função e da variável x e observe como o valor de f(x) pode ser obtido por meio da leitura do gráfico da função.


Como os exemplos anteriores mostraram, o gráfico de uma função é uma curva plana. A questão que surge agora é saber se qualquer curva plana representa o gráfico de alguma função. Clique aqui para explorar e tentar responder a esta pergunta. (Lembre-se: uma função é uma correspondência especial que a cada ponto de seu domínio associa um único ponto da sua imagem)

Na atividade anterior, concluímos que se uma reta vertical x = a interceptar uma curva em um único ponto (a,b), então há somente um valor para f(a) e este valor é b. Se, por outro, a reta x = a interceptar a curva em mais de um ponto, então a curva não pode representar uma função porque, neste caso, dois valores diferentes estariam associados, pela função, à variável x = a. Assim, das curvas mostradas nos exemplos de 1 a 7, representam gráficos de funções aquelas em que nenhuma reta vertical as interceptam em mais de um ponto, isto é, as curvas dos exemplos 2, 3, 5 e 7.

O gráfico de uma função do tipo y = f(x) é, portanto, uma curva plana com a característica especial que qualquer reta vertical só a intercepta em um único ponto.

Agora é com você!

    (a) O gráfico de uma função pode ser simétrico em relação ao eixo x ?

    (b) E em relação ao eixo y ?

    (c) O que representam os pontos onde o gráfico de uma função corta o eixo x ?

    Respostas



Outro Exemplo

Considere a função definida por [Maple Math] .

(a) Calcule f(0), f(1) e f(2).

(b) Esboce o gráfico desta função.

Solução

(a) Uma função é uma regra. Neste exemplo em particular, a regra é a seguinte: se [Maple Math] , então o valor de f(x) é dado por 1 - x. Se, por outro lado, x > 1, então o valor de f(x) é dado por [Maple Math] . Assim, temos que f(0) = 1 - 0 = 1, f(1) = 1 - 1= 0 (repare que 1 £ 1) e f(2) = [Maple Math] .

(b) Para traçar o gráfico de f, observe que se x £ 1, então f(x) = 1 - x. Assim, a parte do gráfico de f que está à esquerda da reta vertical x = 1 coincide com a reta y = 1 - x, cuja declividade é 1 e a interseção com o eixo y é o ponto (0,1). Se x > 1, então [Maple Math] e a parte do gráfico de f que está à direita da reta x = 1 deve coincidir com o gráfico de [Maple Math] , que é uma parábola.

O gráfico desta função está esboçado ao lado. O disco sólido indica que o ponto em questão faz parte do gráfico da função e o círculo vazado indica que o ponto não faz parte do gráfico da função.

[Maple Plot]

A função do exemplo acima é definida por partes. Já vimos um outro exemplo de funções deste tipo onde os "pedaços" da função se juntavam e formavam uma linha contínua, sem quebras ou rupturas. (Veja Exemplo 4). Intuitivamente, dizemos que uma função é contínua na reta quando o seu gráfico é representado por uma curva sem quebras que pode ser traçada sem tirar o lápis do papel. O gráfico da função deste exemplo apresenta uma "quebra" ou "salto" no seu traçado, no ponto x = 1. Neste caso, dizemos que a função é descontínua ou que apresenta uma descontinuidade neste ponto.

Agora é com você!

 
Os gráficos das funções definidas por partes podem ser uma linha contínua ou podem apresentar saltos.

    Conhecendo-se a expressão analítica de uma função definida por partes, é possível saber de qual destes dois tipos é o seu gráfico? Em caso afirmativo, explique qual a condição necessária para que a função seja contínua.

    Respostas



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