Módulo II - Capítulo I
Aprendendo


Funções Crescentes e Decrescentes

O gráfico de uma função, quando corretamente interpretado, pode nos fornecer inúmeras informações sobre o comportamento da função. Nesta seção estudaremos várias características gerais de funções e aprenderemos a interpretá-las graficamente.


Suponha que você esteja caminhando sobre o gráfico de uma função da esquerda para a direita. Neste caso, os valores da variável independente x estão sempre aumentando mas os valores de y, podem aumentar em determinados trechos e diminuir em outros.

Clique aqui para explorar esta idéia e compreender melhor.

[Maple OLE 2.0 Object]

Se o gráfico de uma função sobe da esquerda para a direita, dizemos que a função é crescente. Se o gráfico da função cai da esquerda para a direita, dizemos que a função é decrescente. Se o gráfico da função é horizontal, em um determinado trecho, a função é constante naquele trecho.

Estas observações podem ser traduzidas em linguagem matemática, pelas condições que aparecem nas definições a seguir.

Definição

Considere [Maple Math] .

1) Uma função f é crescente num intervalo se [Maple Math] , para cada ponto [Maple Math] e [Maple Math] do intervalo.

2) Uma função f é decrescente num intervalo se [Maple Math] , para cada ponto [Maple Math] e [Maple Math] do intervalo.

3) Uma função f é constante num intervalo se [Maple Math] , para cada ponto [Maple Math] e [Maple Math] do intervalo.



Exemplo 1

Considere a função [Maple Math] . Vamos reescrever esta expressão para f, usando a definição de valor absoluto.

Se [Maple Math] , ambas as expressões [Maple Math] e [Maple Math] são negativas e assim

[Maple Math] = [Maple Math]

Se -2 < x < 1, então x-1 é negativo e x + 2 é positivo. Então

[Maple Math] = 3.

Finalmente, se x ³ 1 , ambas as expressões [Maple Math] e [Maple Math] são positivas e assim

[Maple Math] = [Maple Math] .

As observações acima permitem concluir que

[Maple Math] = [Maple Math]

Vamos identificar os intervalos onde esta função é crescente e os intervalos onde ela é decrescente.

Traçando o gráfico desta função obtemos a figura ao lado. Analisando este gráfico podemos observar que esta função é crescente para valores de x maiores ou iguais a 1, é decrescente para valores de x menores ou iguais a -2 e é constante no intervalo [-2,1].

[Maple Plot]

Para confirmar o resultado de nossas observações precisamos provar que:

1) Para x £ -2 , se [Maple Math] então [Maple Math] .

2) Para todo x 1 e x2 no intervalo [-2,1], temos que [Maple Math] .

3) Para x ³ 1 , se [Maple Math] então [Maple Math] .

Para provar o item (1) basta observar que se [Maple Math] , temos que

[Maple Math]

[Maple Math]

e daí segue que f(x2) < f(x1) , pois para [Maple Math] , [Maple Math] .

A demonstração dos demais itens se faz da mesma maneira. Tente fazê-las!

Agora é com você!

  • Dê exemplos de funções crescentes e de funções decrescentes.

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