Módulo II - Capítulo I
Aprendendo


Simetrias: Funções Pares e Ímpares

O gráfico de uma função pode apresentar muitos tipos de simetrias ou nenhum. O conhecimento "a priori" das propriedades de simetria de uma função pode nos ajudar enormemente no traçado de seu gráfico: poderemos, por exemplo, determinar os valores de uma função em uma determinada zona do plano, conhecendo tão somente os valores que essa função assume na zona simétrica. De todos os possíveis tipos de simetria que o gráfico de uma função pode apresentar, existem dois que são facilmente detectados. O objetivo dessa seção é estudar e identificar esses casos.

Agora é com você


Se você concluiu corretamente, o gráfico da função estudada na atividade anterior é simétrico em relação ao eixo y. No Capítulo 3 do Módulo 1, vimos que uma curva é simétrica em relação ao eixo y se o ponto (-x,y) pertencer à curva sempre que o ponto (x,y) pertencer. De acordo com esta observação, para que o gráfico de uma função seja simétrico em relação ao eixo y, é necessário que os pontos (x,y) e (-x,y) pertençam ambos a este gráfico. Como o gráfico de uma função é o conjunto de pontos do plano da forma (x, f(x)), temos que f(x) = y = f(-x), para todo x no domínio de f. O eixo y é chamado eixo de simetria da função f.

O gráfico da função [Maple Math] é simétrico em relação ao eixo y pois, como [Maple Math] = [Maple Math] , temos que f(x) = f(-x). Veja esta afirmação ilustrada na figura ao lado.

[Maple Plot]



Agora é com você


Se você completou a tarefa anterior, pôde concluir que o gráfico da função estudada é simétrico em relação à origem. De um modo geral, o gráfico de uma curva é simétrico em relação à origem se (-x,-y) pertencer à curva sempre que (x,y) também pertencer, como ilustra a figura ao lado. Levando em conta a definição de gráfico de função, como anteriormente, podemos concluir que o gráfico de uma função será simétrico em relação à origem sempre que f(-x) = - f(x).

[Maple Plot]

A função cujo gráfico é simétrico em relação ao eixo y é chamada função par. Uma função cujo gráfico é simétrico em relação à origem é chamada função ímpar. As definições abaixo resumem estas idéias.

Definições



Uma função y = f(x) é dita par se f(-x) = f(x), para todo x no domínio de f. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.

Uma função y = f(x) é dita ímpar se f(-x) = - f(x), para todo x no domínio de f. O gráfico de uma função par é simétrico em relaçào à origem.



Exemplos

1) Determine se as funções abaixo são pares ou ímpares;

(a) [Maple Math] (b) [Maple Math]

Solução



(a) [Maple Math] = [Maple Math] . Como, f (x) = f(-x) esta função é par. Repare que o seu gráfico, mostrado ao lado, é simétrico em relação ao eixo y.

[Maple Plot]



(b) [Maple Math] = [Maple Math] = - g(x). Como g(- x)= - g(x) esta função é ímpar. Repare no seu gráfico mostrado ao lado: ele é simétrico em relação à origem.

[Maple Plot]

Cuidado!

Demonstrações algébricas são mais úteis do que informações visuais! O gráfico da função [Maple Math] é mostrado abaixo.

[Maple Plot]

A análise visual deste gráfico poderia nos conduzir a afirmar que esta função é par. No entanto, uma pequena verificação algébrica mostra que esta afirmação é falsa. De fato, g(-x)= [Maple Math] e este valor é diferente de g(x) = [Maple Math] . Logo, esta função não é par.



Agora é com você!



 



 



 



 



 



 


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