Módulo II - Capítulo II
Aprendendo



Composição de funções



Exemplo 1

No procedimento médico conhecido como angioplastia, os médicos inserem um cateter numa veia ou artéria e inflam um pequeno balão de forma esférica localizado na ponta do cateter. Suponha que o raio do balão aumente a uma taxa constante de 0,5 mm/s. Este balão é usualmente inflado até atingir um volume de 400 [Maple Math] . O problema é saber quanto tempo o balão leva para atingir este volume.

Para responder a questão proposta é necessário obter uma expressão para o volume do balão em função do tempo. Sabemos que o volume de uma esfera é função de seu raio r e é dado pela fórmula [Maple Math] . Neste problema o raio do balão varia com o tempo e, consequentemente, o mesmo acontece com o seu volume. Como o raio do balão aumenta a uma taxa constante de 0,5 mm/s, temos que [Maple Math] . Substituindo esta expressão na fórmula que fornece o volume do balão obtemos [Maple Math] = [Maple Math] .

Assim, o volume será igual a 400 [Maple Math] quando [Maple Math] ou [Maple Math] = 9,141...

O resultado encontrado acima, significa que o balão leva um pouco mais do que 9, 1s para atingir o volume máximo, necessário ao procedimento.

Neste exemplo, começamos com uma função de r, [Maple Math] , e então, substituímos r pela função de t , [Maple Math] , para obter V como uma função de t.

Este é um exemplo de composição de funções.

Exemplo 2

No exemplo 1 do Capítulo 1, definimos uma função f, que faz corresponder a cada letra do alfabeto um número natural entre 1 e 23.

A. Loprado, doutor em matemática, aproveitou essa função para criar um código e transmitir mensagens secretas, da maneira descrita a seguir. Usando a função f, cada letra da mensagem é "transformada" em um número. A seguir, esse número é multiplicado pelo número correspondente ao mês do seu aniversário e o resultado é somado com a sua idade. A. Loprado nasceu em 9 de março e tem 42 anos.

Agora é com você!


    (a) Defina a função g, correspondente à última parte dessa codificação.

    (b) Usando as funções f e g, defina a função h que corresponde ao código matemático criado por A. Loprado.
      Qual o domínio dessa função?
      Qual a sua imagem?

    (c) Use o método acima para codificar a palavra mar.

O código criado por A. Loprado é outro exemplo de composição de duas funções. Nesse caso, dizemos que [Maple Math] , qualquer que seja a letra [Maple Math] do nosso alfabeto ou que h = g o f . Repare que, para que h faça sentido, é necessário que o domínio de g coincida com a imagem de f.

Agora é com você!


  • É possível, no caso acima, definir a função f o g? Por quê?



Exemplo 3

Clique aqui para interpretar graficamente a composição de funções.

Exemplo 4

Considere um quadrado cujo lado tem x cm de comprimento . Sua área A é , então, uma função de x cuja expressão analítica é dada por A = [Maple Math] . Suponha, agora, que o comprimento do lado varie com o tempo t ,dado em segundos, e seja, portanto, uma função de t . Considere, por exemplo, x = [Maple Math] . Assim, a área A do quadrado também varia com o tempo, ou seja, A = A(x) = A(x(t)) = [Maple Math] .

A função [Maple Math] é outro exemplo do que chamamos de composição de funções. Ela é formada pela composição da função A = x2 com a função x(t) = 5t +1.

Definição

De um modo geral, dadas as funções f = f(x) e g = g(x) , a função composta h = g o f é definida por

h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)).

Repare que esta definição só faz sentido se a imagem de g estiver contida no domínio de f. Conseqüentemente, o domínio de f o g é o conjunto dos valores de x no domínio de g , tal que g(x) está no domínio de f. Veja o desenho abaixo.

[Maple OLE 2.0 Object]

Clique aqui para praticar e entender melhor.

Resumindo



Um valor x = a pertence ao domínio da função composta f o g se duas condições forem verdadeiras:

(i) a deve pertencer ao domínio de g.

(ii) g(a) deve pertencer ao domínio de f.

Além disso, podem existir pontos x , no domínio de g, tais que os correspondentes valores g(x) não estão no domínio de f. Para estes valores a composta f(g(x)) não está definida.



Exemplo 5

Seja [Maple Math] e [Maple Math] . Ache o domínio da função composta f o g .

Solução

Em primeiro lugar, é necessário que x seja não negativo, para que esteja no domínio de g, isto é, para que a função [Maple Math] faça sentido. Prosseguindo, temos que (f o g ) ( x )= f(g(x)) = [Maple Math] = [Maple Math] .

Considerando somente a igualdade ( f o g )( x )= x - 1, poderíamos ser levados a concluir que o domínio de f o g é o conjunto de todos os números reais. Entretanto, vimos que x deve ser não negativo para pertencer ao domínio de g. Assim, o domínio da composta f o g é o intervalo [0, [Maple Math] ).

Agora é com você!


  • Determine a composta g o f é especificando o seu domínio.

    Respostas

Como aconteceu no exemplo acima, em geral, f o g ¹ g o f.. A seguir examinamos um outro exemplo que ilustra esta afirmação.

Exemplo 5

Considere as funções [Maple Math] e [Maple Math] . Temos, então, que (g o f)(x) = g(f(x)) = [Maple Math] = [Maple Math] , cujo domínio é o conjunto de todos os reais maiores ou iguais a zero.

Por outro lado, (f o g )(x) = f(g(x)) = [Maple Math] , cujo domínio é Â.

Claramente, neste caso, f o g ¹ g o f. (Se você ainda não entendeu porque esta última afirmação é verdadeira, observe, por exemplo, que f(g(1)) = [Maple Math] ¹ g(f(1) = 5.)

Agora é com você!


    Calcule as funções f o g e g o f, especificando os respectivos domínios, nos casos em que:

      (a) [Maple Math] e [Maple Math]

      (b) [Maple Math] e [Maple Math]

    Respostas

Repare ainda que a composição de funções é essencialmente diferente da multiplicação usual de funções como mostra o exemplo abaixo.

Exemplo 6



Considere as funções [Maple Math] e [Maple Math] . Temos então que:

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

Estas funções estão definidas para todo x Î Â . Os gráficos abaixo, ilustram claramente, quão diferentes são estas três funções!

[Maple Math]

[Maple Plot]

[Maple Math]

[Maple Plot]

[Maple Math]

[Maple Plot]

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