Escolha um número qualquer e use o quadro abaixo para calcular a raiz quadrada deste número. Calcule a raiz quadrada do resultado obtido. Repita este procedimento um grande número de vezes. O que você pode observar?

Nos dois casos acima, escolhemos para começar o processo um valor para e calculamos . Vamos chamar este valor de , isto é, . A seguir calculamos e, assim, obtemos um valor que vamos chamar de , isto é, = f(f( )). Obtemos , calculando e prosseguindo dessa maneira, compondo f com f, n vezes, definimos uma seqüência de números reais onde .

Vamos ilustrar, graficamente, cada passo do procedimento acima para tentar entender o comportamento da seqüência à medida em que n cresce.

Dizemos que um número p é um ponto fixo da função quando .

A seqüência definida a partir de um ponto e de repetidas composições de uma função f é chamada de órbita de .

Na atividade proposta acima, podemos constatar que, à medida em que n crece, a seqüência de valores , x₁ = f(x₀), x₂ = f(x₁) = f(f(x₀)), x₃ = f(x₂) = f(f(f(x₀))) se aproxima cada vez mais de 1, que é uma das raízes da equação x² = x. Portanto, usando as novas definições acima, podemos afirmar que a órbita de se aproxima de zero, que é um dos pontos fixos da função . Neste caso, dizemos que esta órbita converge para este ponto fixo.

Por outro lado os valores da seqüência , x₁ = f(x₀) , x₂ = f(x₁) = f(f(x₀)), .... se tornam cada vez maiores à medida em que n cresce. Neste caso, dizemos que a órbita de x₀ = 2 diverge.

Depois de algumas tentativas e de pensar um pouco, você deve ter concluído que, dependendo do valor de x₀, as órbitas ou divergem, ou convergem para o ponto fixo negativo da função dada. No entanto, é possível obter, por este método, aproximações para o ponto fixo positivo da função f.

Seja . Os pontos fixos desta função são as raízes da equação , a saber, e .Um observador mais atento poderá constatar sem dificuldades, um comportamento estranho nas órbitas desta função. O primeiro fato a notar é que f(1) = 0, f(0) = -1 e f(-1) = 0. Assim, se começarmos com , ou , ou , não obteremos nenhuma seqüência convergente mas um ciclo de dois valores repetidos: 0, -1, 0 -1, 0, -1,.....

Pela experiência adquirida com o estudo da função , poderíamos esperar que um valor inicial próximo da solução negativa de , produziria uma órbita convergente para esta raiz.

No exemplo anterior, você deve ter obtido uma seqüência cujos primeiros termos são: -0,6; -0,64; -0,5904; -0,6514; -0,5756; -0,6686; -0,5529; -0,6943; -0,5180;....

Os termos desta seqüência são, alternadamente, maiores e menores que -0,618 » e se afastam, mais do que se aproximam deste ponto fixo. Se você for bastante paciente e iterar mais de 20 vezes, se convencerá que os termos da seqüência se aproximam ou de 0 ou de -1 e as órbitas "rodam" em torno destes pontos formando um ciclo infinito. Os gráficos a seguir ilustram melhor esta conclusão.

É possível, como fizemos antes, alterar a forma da equação para obtermos funções com órbitas que convergem para as soluções da equação, mas ciclos são de muito interesse para o estudo do comportamento de certos sistemas físicos e biológicos.

Vamos examinar, agora o comportamento de algumas órbitas da função . Os pontos fixos desta função são x = 1 e x = -0,5. Como f(0,5) = -0,5, a órbita cujo valor inicial é x₀ = 0,5 conduz diretamente, após uma única iteração, ao ponto fixo x = - 0,5. Considere valores bem próximos de x₀ = 0.5, por exemplo x₀ = 0,51. Use o quadro abaixo para examinar o comportamento da órbita de f para este valor inicial. (Vá anotando os valores da seqüência).

Examine também o comportamento das órbitas desta função para valores iniciais muito próximos do outro ponto fixo de f.

O comportamento das órbitas desta função nos fornece um exemplo do que, em matemática, é chamado um comportamento caótico. A sensibilidade dos sistemas caóticos aos dados iniciais foi descrita por James Gleick, no seu livro "Chaos: Making a New Science" (1987) como o "efeito borboleta" que serve para ilustrar a idéia de que o tempo do nosso planeta é tão sensível às condições iniciais que o "simples bater de asas de uma borboleta, hoje, em Pequim pode se transformar numa tempestade nos próximos meses, em Nova York".

É muito difícil para nós, sequer imaginarmos um sistema que tenha um comportamento tão frágil e sensível aos dados iniciais. Felizmente, ou infelizmente, estamos nos conscientizando, cada vez mais, que o comportamento caótico descreve melhor o nosso mundo do que os sistemas bem comportados aos quais estamos tão acostumados!