Módulo II - Capítulo II
O Mundo ao Nosso Redor



Operando com funções no dia a dia

Operar com funções tem muitas aplicações práticas. Por exemplo, se a função f(x) representa um registro de som, então a função 2 f(x) efetivamente amplifica este som por um fator de 2. Este é o princípio por detrás do processo de digitalizaçào de sinais de vídeo e áudio. Se f(x) representa um sinal de vídeo e g(x) representa outro, então f(x) + g(x) representa os dois sinais sobrepostos. Combinando-se a operação de adicionar com a operação de multiplicar funções por constantes, pode-se obter alguns efeitos interessantes. A lista

f(x)

0,9f(x) +0,1g(x)

0,8f(x) + 0,2g(x)

0,7f(x) + 0,3 g(x)

......

0,1f(x) + 0,9g(x)

g(x)

representa uma seqüência de sinais de vídeo que começa com f(x) e vai mudando suavemente para g(x).

A imagem ao lado, mostra um efeito deste tipo. Neste exemplo, [Maple Math] e [Maple Math] .

[Maple Plot]


[Maple Plot]

[Maple Plot]

[Maple Plot]

Este efeito é freqüentemente usado em
televisão e cinema para fazer a
transição de uma cena para outra.

O produto e o quociente de funções é útil em diversos contextos. Assim, se uma função f(t) descreve o consumo de energia "per capita" em um determinado país, num certo período de tempo t (por exemplo a cada mês) e a função p(t) fornece a população do país , então a função produto E(t) = f(t)p(t) fornece o consumo total de energia daquele país, no mesmo período de tempo t.
Da mesma maneira, se a função f(t) fornece a produção total de alimentos de um país qualquer, em um determinado período de tempo t e, como antes, a função p(t) fornece a população deste país, então o quociente C(t) =
[Maple Math] fornece a produção "per capita" de alimentos naquele país.

Se uma região retangular muda de tamanho e se o seu comprimento e sua altura variam de acordo com as funções f(t) e g(t), respectivamente, em cada instante de tempo t, então a sua área é dada pelo produto A(t)=f(t)g(t). Os problemas abaixo mostram como esta observação é usada em situações de nossa vida diária.

Fotografias tiradas por satélites

Uma câmera fotográfica localizada em um satélite envia, de tempos em tempos, fotografias para uma estação receptora na Terra. Estas fotografias mostram regiões retangulares a serem monitoradas. A fotografia padrão cobre uma área de 5 km de largura por 7 km de comprimento. É possível enviar sinais ao satélite para que a fotografia englobe regiões com áreas maiores ou menores. No primeiro caso, é enviada uma ordem para que a câmera acione, por um tempo determinado, o controle de "zoom out". No segundo, a câmera deverá executar um "zoom in". Quando a câmera executa um "zoom out", o comprimento e a largura do retângulo focalizado aumenta a uma taxa de 2 km/s. O problema é saber por quanto tempo a câmera deve executar o processo de "zoom" para que a imagem enviada à Terra cubra uma área especificada. Por exemplo, quanto tempo levará para que a área A do retângulo focalizado seja igual a duas vezes a área do retângulo inicial. Vamos examinar esta questão.

Seja c o comprimento do retângulo e l a sua largura. Na fotografia padrão c = 7 e l = 5. A área A do retângulo padrão é dada por A = c.l = 7.5 = 35. Decorridos t segundos, após iniciado o processo de "zoom", o comprimento do retângulo focalizado será igual a [Maple Math] , a largura igual a [Maple Math] e, portanto, a área será igual a [Maple Math] . Para resolver o problema proposto é necessário determinar o tempo t tal que

2. [Maple Math],

isto é resolver esta equação. Isto pode ser feito algebrica ou graficamente.

Agora é com você



(a) Resolva a equação anterior e conclua por quanto tempo a câmera deve executar o comando de "zoom" para que a área do retângulo focalizado seja igual a 2 vezes a área do retângulo inicial. Para isso, use o gráfico ao lado.

(b) Por quanto tempo a câmera deve executar o "zoom" para que a área do retângulo focalizado seja no mínimo igual 120 [Maple Math] .


(c) Uma equipe de professores desenvolveu um programa de computador a pedido de um diretor de cinema. Para simular a aproximação de veículos o programa começa com uma imagem digitalizada contida numa "caixa" de 5 x 7 x 3 cm de dimensões e aumenta cada dimensão a uma taxa de 2 cm/s. Quanto tempo leva para que o volume V da caixa seja no mínimo igual a cinco vezes o valor da caixa inicial.
 

Do mesmo modo, a composição de funções tem muitas aplicações no nosso dia a dia. Na seção Aprendendo, vimos um exemplo das inúmeras aplicações de composição de funções no procedimento médico chamado angioplastia. Os problemas a seguir ilustram outras situações em que é necessário compor duas funções e são deixados como exercício.

Agora é com você

1) Devido a queda da pressão atmosférica, em altas altitudes os balões atmosféricos expandem-se. Considere que o raio de um balão atmosférico esférico, inicialmente igual a 122 cm, expanda-se a uma taxa de 0,03 cm/s. Determine uma função que forneça o volume do balão em qualquer instante de tempo t e use esta função para encontrar o volume do balão em t = 300 s.

2) Uma montadora de automóveis oferece 15% de desconto em todos os carros novos de um determinado lote. Ao mesmo tempo a revendedora oferece um desconto de R$ 1000,00.

    (a) Seja p o preço de tabela do automóvel. Ache uma expressão para a função f que representa o preço de revenda do automóvel, se somente o desconto de 15% for aplicado ao preço de tabela.

    (b) Ache uma expressão para a função g que representa o preço de revenda do automóvel, se somente o desconto de R$ 1000,00 for aplicado ao preço de tabela.

    (c) Quando ambos os descontos são aplicados o preço de revenda do automóvel é dado por (f o g)(p) ou (g o f)(p) dependendo da ordem em que os descontos são aplicados. Se você fosse comprar este automóvel, qual dos descontos pediria para que o revendedor aplicasse primeiro? Justifique a sua resposta e indique qual das compostas representa a sua escolha.

    Retorna ao início.