Módulo II - Capítulo III
Aprendendo



Função Afim - Introdução



Problema

Em uma certa cidade, os taxistas cobram R$2,50 a bandeirada mais R$1,50 por quilômetro rodado. Como é possível para um passageiro determinar o valor da corrida?

Neste problema é fácil verificar que o valor da corrida depende do número de quilômetros rodados. Para resolvê-lo é necessário determinar, a partir dos dados apresentados, a relação existente entre o preço (P) e o número x de quilômetros rodados, que são as variáveis do problema.

Numa primeira tentativa para obter esta relação vamos construir uma tabela onde calculamos o valor de P para alguns valores particulares de x . Veja ao lado e complete as lacunas.

A partir desta tabela, você é capaz de deduzir a relação que fornece o preço da corrida qualquer que seja o número de quilômetros rodados?

Respostas

x P
0 2,5
1 4
2
3,5
4 8,5
n

Se você completou corretamente a tabela anterior deve ter percebido que o preço da corrida é determinado pela relação P = 2,5 + 1,5 x. . Esta relação define P como uma função de x e permite calcular o preço da corrida para qualquer número de quilômetros rodados, mesmo para aqueles valores de x que não constam da tabela acima.

Agora é com você!


    (a) Dentro do contexto do problema apresentado, qual o domínio da função P.

    (b) Qual a sua imagem?

    Respostas.


Como já vimos, além de tabelas e equações, podemos representar uma função por meio de um gráfico no plano cartesiano. Neste caso, é usual representar a variável x no eixo das abscissas e os correspondentes valores da variável dependente, neste exemplo P, no eixo das ordenadas.

O gráfico da função P será dado, então, pelo conjunto de todos os pontos ( x , y ) do plano tais que y = P( x ), com x variando no domínio da função P. Veja o gráfico desta função traçado ao lado.

Repare que esta função está definida somente para valores positivos de x e é representada por uma semi-reta com origem no ponto (0, 2,5).

[Maple Plot]



Agora é com você!


    (a) Qual a relação existente entre o coeficiente linear da semi-reta traçada acima e os dados do problema? E entre a sua declividade e os dados do problema?

    (b) Numa corrida de táxi a bandeira dois significa que o preço do quilômetro rodado sofre uma variação de 20%. Usando os dados do problema anterior, determine a função que fornece o preço de uma corrida onde a bandeira dois é usada?

    (c) O que muda no gráfico desta função em relação ao gráfico anterior?

    (d) Os gráficos do preço da corrida comum e o de uma corrida com bandeira dois são traçados ao lado. Identifique qual dos gráficos representa a corrida com bandeira dois.

    [Maple Plot]

    (e) Se eu tenho R$ 10, 00, quantos quilômetros posso rodar numa corrida comum? E numa corrida com bandeira dois?

    (f) Se o preço da bandeirada aumentar em 10%, qual será a nova representação analítica para a função P?

    (g) O que muda no gráfico desta função em relação ao gráfico original?

    (h) Os gráficos do preço da corrida comum e o de uma corrida com aumento na bandeirada são traçados ao lado. Identifique qual dos gráficos representa a corrida com aumento no preço da bandeirada.

    [Maple Plot]

    Respostas.

Existem várias classes de funções especiais e muito úteis, cujos gráficos, equações e tabelas possuem propiedades facilmente identificáveis. A mais simples destas classes é constituída pelas funções que podem ser expressas por uma equação da forma y = mx + b . Uma função deste tipo é chamada função afim e o seu gráfico é uma reta com declividade m e coeficiente linear b .

Como já vimos, toda reta apresenta uma declividade constante. Como conseqüência deste fato, é possivel determinar o valor de m connhecendo-se o valor da função f( x ) = mx + b em dois pontos quaisquer.
De fato, sejam (
[Maple Math] ) e ( [Maple Math] ) dois pontos quaisquer do gráfico da função. Então, temos que [Maple Math] e [Maple Math] . Destas duas equações obtemos que [Maple Math] e, daí, temos que [Maple Math] .

Agora é com você!


    (a) Se m é positivo, o que podemos afirmar a respeito da função f? Qual o aspecto característico do seu gráfico?

    (b) Se m é negativo, o que podemos afirmar a respeito da função f? Qual o aspecto característico do seu gráfico?

    (c) O gráfico ao lado pode representar o preço de uma corrida de táxi? Por quê?

    [Maple Plot]

    Respostas.



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