Módulo II - Capítulo III
Aprendendo



Retas Secantes e Taxas de Variação Médias

Como vimos no exemplo 4 da seção anterior, para uma função [Maple Math] qualquer, a razão [Maple Math] não é constante mas varia de acordo com o intervalo usado para calculá-la.

Na figura, o valor desta razão é maior entre os pontos Q e R do que entre os pontos P e Q.

[Maple OLE 2.0 Object]

Qual a relação entre a taxa de variação média de uma função num determinado intervalo e a declividade da reta secante ao gráfico da função que passa pelos extremos do intervalo considerado? Clique aqui para tentar descobrir esta relação.

No desenho acima, a declividade da reta secante ao gráfico da função que passa por P e Q, representa a taxa de variação média de f em relação a x , entre estes dois pontos. Analogamente, a declividade da reta secante ao gráfico da função que passa por Q e R, representa a taxa de variação média de f em relação a x , entre estes dois pontos.

De um modo geral, a taxa de variação média de uma função y = f( x ) em relação a x, num intervalo [ a , b ], é dada pela razão [Maple Math] .

Exemplo 1



Seja [Maple Math] . A taxa de variação média de f(t) em relação a t, no intervalo [0,2], é dada por [Maple Math] = 55.

A figura mostra que a taxa de variação média é a declividade da reta secante à curva y = f( t ) que liga os pontos (0, 0) e (2, 110).

[Maple OLE 2.0 Object]



Interpretação Física

Se f( t ) representa a distância percorrida por um automóvel, nas primeiras t horas de uma viagem, a taxa de variação média representa a velocidade média desenvolvida por este motorista, nas primeiras t horas da viagem. No exemplo anterior, se f representa a distância, dada em quilômetros, percorrida por um automóvel nas primeiras duas horas de uma viagem, então a velocidade média desenvolvida pelo automóvel foi de 55 km/h.

Agora é com você!


    (a) Calcule a taxa de variação média de f(t) em relação a t, nos intervalos [0,1] e [1,2].

    (b) O que os resultados obtidos no item (a) permitem concluir a respeito do movimento do automóvel?

    (c) Suponha que a reta secante traçada na figura, represente a distância percorrida por um automóvel durante as duas primeiras horas da viagem. Qual a velocidade média desenvolvida por este automóvel no intervalo [0,2]? A velocidade do automóvel varia neste intervalo?

    (d) Clique aqui para calcular outras taxas de variação.

    Respostas.



Em resumo

O exercício anterior mostra que, se um objeto móvel se desloca com velocidade constante, o gráfico da distância percorrida pelo objeto em função do tempo trancorrido, é uma reta. A declividade desta reta é igual a velocidade desenvolvida pelo objeto.

O gráfico da distância X tempo de um objeto que se move com uma velocidade variável é uma curva. À medida em que o objeto se move ao longo da curva, sua velocidade se altera. A declividade da reta secante a esta curva que passa por quaisquer dois de seus pontos, é igual a velocidade média desenvolvida pelo móvel, no intervalo determinado por estes pontos.

Exemplo 2

Seja [Maple Math] . A taxa de variação média de g em relação a x , no intervalo [40,50] é dada por [Maple Math] = [Maple Math] .

A figura mostra que esta taxa média de variação é a declividade da reta secante ao gráfico da curva y = g( x ) que liga os pontos (40, 25) e (50, 20).

[Maple OLE 2.0 Object]



Interpretação Física

Se g( x ) representa o tempo necessário para um objeto móvel percorrer 1000 km a uma velocidade de x km/h, então esta taxa de variação média significa que, para velocidades entre 40 e 50 km/h, cada aumento de uma unidade na velocidade desenvolvida, reduz o tempo total da viagem em meia hora.

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