Módulo II - Capítulo III
Aprendendo



Interpretando gráficos

Nesta seção aprenderemos a obter e usar informações a respeito de taxas de variação, crescimento e decrescimento de funções para descrever e interpretar uma situação específica a partir de um dado gráfico.



Exemplo 1



Paulo e Ana vão do Posto 2, em Copacabana, à Cidade Universitária de moto, fazendo o mesmo percurso. O gráfico abaixo representa a distância percorrida por cada moto desde o ponto de partida, no Posto 2, até a chegada na Cidade Universitária (em quilômetros), em função do tempo (em minutos), contado a partir do instante em que Paulo partiu do Posto 2.

[Maple Plot]



Análise e Comentários

A partir de uma análise cuidadosa do gráfico e das informações apresentadas, é possível chegar a várias conclusões. A primeira observação importante é notar que o tempo trancorrido é marcado no eixo horizontal e as distâncias de cada um dos amigos ao Posto 2, no eixo vertical. Assim, as coordenadas ( x , y ) de cada ponto destes gráficos representam, respectivamente, (tempo transcorrido, distância do motoqueiro ao Posto 2). Por exemplo. o ponto (10,10), sobre o segmento de reta traçado em linha tracejada, nos informa que transcorridos 10 minutos da partida o motoqueiro cuja distância ao Posto 2 é representada por este gráfico, estava a 10 quilômetros do ponto de partida.

O ponto (0,0) representa o início do percurso e como sabemos, pelas informações dadas, que os gráficos foram traçados a partir do momento em que Paulo saiu do Posto 2, o gráfico vermelho, que é o que passa por este ponto, representa a distância percorrida por Paulo. Conseqüentemente, o gráfico traçado em linha pontilhada representa a distância percorrida por Ana, em função do tempo que ela levou para chegar à Cidade Universitária. Como este último gráfico tem seu ponto inicial em (5,0), podemos concluir que Ana partiu de Copacabana, 5 minutos depois de Paulo.

Os dois gráficos terminam no ponto (30,20). Esta observação nos permite concluir que os dois amigos chegaram juntos à Cidade Universitária: ambos levaram 30 minutos para percorrer 20 km que é a distância, por este trajeto, da Cidade Universitária ao Posto 2, em Copacabana.

No gráfico tracejado, aparece um patamar que começa no ponto (10,10) e termina no ponto (25,10). Este patamar significa que durante 15 minutos a distância de Ana ao Posto 2, não variou, isto é, permaneceu igual a 10 quilômetros. Daí, podemos concluir que, durante o caminho até a Cidade Universitária, Ana parou por 15 minutos.

Além disso, excluindo-se o patamar, as declividades dos segmentos de retas que formam o gráfico pontilhado são maiores do que a declividade do segmento de reta traçado em linha cheia. Esta observação nos permite concluir que Ana desenvolveu uma velocidade maior do que Paulo. (Lembre-se que as declividades destas retas representam a taxa de variação da distância percorrida em relação ao tempo transcorrido, isto é a velocidade desenvolvida por cada um dos motoqueiros.)

Os dois gráficos se interceptam em 3 pontos, um dos quais o ponto final do percurso. Como os dois amigos percorreram o mesmo caminho, estas interseções indicam que eles se encontraram 2 vezes durante o caminho e chegaram juntos ao destino. Repare ainda, que no primeiro destes encontros Ana ultrapassou Paulo e no segundo, Paulo passou por Ana enquanto ela estava parada.

Agora é com você!



Solange, Bruno, Miguel e Andréia são amigos que moram no mesmo prédio e frequentam a mesma escola. A escola dista 10 km e as aulas começam às 8 horas. Todos percorrem o mesmo caminho para ir da casa à escola, mas não utilizam os mesmos meios para chegar lá. Três desses amigos contam como fizeram a viagem, hoje:

  • Solange: "Eu sempre saio com calma porque acho que não se pode começar o dia correndo. Durante o caminho começo a pedalar mais depressa porque não gosto de me atrasar.
  • Andréia: "Eu tinha acabado de sair de casa quando me lembrei que hoje tínhamos aula de Educação Física e eu tinha me esquecido do tênis. Voltei para casa para pegá-lo e, depois, retornei o caminho para a escola com toda a pressa para não chegar atrasada."
  • Bruno: "Ganhei uma mobilete e hoje saí com ela pela primeira vez! No entanto, como sou distraído, na metade do caminho me vi sem combustível!! Como o trânsito era pequeno, fui andando e empurrando a mobilete pelo resto do caminho até a escola e cheguei bem em cima da hora!"

A seguir aparecem quatro gráficos que representam as situações descritas por Solange, Andréia, Bruno e, também, o trajeto feito por Miguel. Identifique cada um dos gráficos com a pessoa correspondente, justificando suas escolhas. Descreva, também, como poderia ter sido a narrativa de Miguel sobre o seu trajeto até a escola.

Nos gráficos, você pode alterar o valor do tempo e observar como o ponto que representa a posição do aluno em cada instante se desloca sobre a curva. Em cada caso, escolha o nome do aluno cujo trajeto você acha que se adapta ao gráfico e, depois, pressione o botão "Comprovar" para conferir sua resposta.

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Adaptação da atividade originalmente proposta por José Luis Alonso Borrego disponibilizada na página do Proyecto Descartes.



Exemplo 2



Uma pessoa corre do início de uma avenida até o seu final e depois retorna ao ponto de partida. O gráfico ao lado mostra a distância da pessoa ao ponto de partida (em km), em função do tempo trancorrido (em minutos).

[Maple Plot]



Análise e Comentários

Analisando o gráfico acima podemos concluir que o corredor desenvolve uma velocidade constante nos primeiros 2,5 km do percurso, descansa por 10 minutos, corre até o final da avenida que mede 5 km, com uma velocidade maior do que a inicial, retorna e corre de volta até o início do percurso, com a mesma velocidade desenvolvida no trecho depois da parada.

As conclusões a respeito da velocidade desenvolvida pelo atleta são tiradas a partir das declividades dos segmentos de reta que formam o gráfico: quanto maior a declividade da reta maior a velocidade do corredor naquele trecho do percurso. O patamar deste gráfico indica uma parada no trajeto: dos 20 minutos aos 30 minutos após a partida, a distância do maratonista ao início da avenida permaneceu a mesma.

A partir do ponto (40,5), a distância do atleta ao ponto de partida que estava aumentando, começa a diminuir. Isto significa que ele chegou ao final da avenida e começa a retornar ao seu início. Este ponto, (40,5), permite concluir também, que a maior distância do atleta ao ponto de partida foi de 5 km, como ele correu do início até o final da avenida chegamos a conclusão que a mesma tem uma extensão de cinco quilômetros e que o nosso atleta de final de semana levou 40 minutos para chegar ao seu final. O percurso de ida e volta levou 1 hora (60 minutos) e o corredor percorreu uma distância total de 10 km.


Agora é com você!



Treinando para a maratona




Escolha, em cada grupo, a explicação que melhor se adapta ao gráfico apresentado que representa a distância (em km) de um maratonista a um posto de gasolina numa estrada, em função do tempo (em min) trancorrido durante o percurso.

Grupo I

(a) A distância do maratonista ao posto nunca é constante. Ela aumenta rapidamente e depois decresce rapidamente.

(b) A distância do maratonista ao posto aumenta durante a primeira meia hora do percurso, a seguir permanece constante por 10 minutos e, a seguir, decresce.

Grupo II

(a) O maratonista começa a correr mantendo uma velocidade constante. Após 10 minutos diminui esta velocidade, depois de outros 10 minutos torna a aumentá-la. Depois de um período de repouso, o maratonista volta a correr com velocidade constante, aumenta esta velocidade por um pequeno intervalo de tempo antes de começar a caminhar até voltar ao posto de gasolina.

(b) A velocidade do maratonista aumenta, primeiro rapidamente, depois mais lentamente. No final do percurso ele corre com uma velocidade constante até retornar ao ponto de partida. Ao se aproximar do posto de gasolina o maratonista gradualmente diminui a sua velocidade.

[Maple Plot]



Um passeio no sábado



Numa manhã de sábado, dois amigos, viajando de carro de forma independente, resolvem fazer um passeio pela cidade, retornando a casa ao final da tarde. Na cena abaixo, representamos a distância que cada um deles está de sua casa, em função do tempo transcorrido. Você pode observar os valores da distância da casa e do tempo transcorrido arrastando o ponto Z sobre o eixo x.

(a) Qual dos veículos foi o mais rápido durante a primeira hora e meia de viagem?
(b) Qual a distância máxima a que eles chegaram de casa?
(c) Qual dos veículos começou o retorno primeiro?
(c) Ambos os motoristas pararam durante a viagem para comer. Durante quando tempo cada um deles parou? A que distância estavam de casa quando almoçaram?
(d) Em que veículo viajava quem, durante o passeio, parou para tomar um refresco?
(e) Quando tempo durou o passeio? Qual a distância total percorrida por cada um deles?

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Adaptação da atividade originalmente proposta por Josep M. Navarro Canut disponibilizada na página do Proyecto Descartes.



Exemplo 3



Cláudia, Laura e Pedro são três amigos que às vezes se encontram no final da rua onde moram para correr no parque. Eles correm de maneiras diferentes. O gráfico abaixo mostra a distância s dada em metros, percorrida por Cláudia, em função do tempo trancorrido t, dado em segundos. Analisando este gráfico é possível responder a perguntas do tipo:

    (a) Qual a distância percorrida por Cláudia?
    (b) Quanto tempo ela levou para percorrer esta distância?
    (c) Qual foi a velocidade média desenvolvida por Cláudia durante a corrida?
    (d) Ela manteve a mesma velocidade durante todo o percurso?

[Maple Plot]

Vamos raciocinar juntos e ver como é possível responder a estas perguntas.

Análise e Comentários

(a) De acordo com o gráfico, Cláudia correu por 100 metros. Esta distância pode ser obtida observando-se o eixo vertical: o gráfico começa em s = 0 e termina em s = 100 e, neste gráfico, s representa a distância percorrida por Cláudia.

(b) Ela percorreu esta distância em 30 segundos. Esta informação pode ser obtida a partir da leitura do eixo horizontal: o gráfico começa em t = 0 e termina em t = 30 e, neste gráfico, t representa o tempo transcorrido.

As informações solicitadas nos dois itens anteriores são dadas, em conjunto, pelo ponto (30,100) que é o ponto final do gráfico apresentado. Este gráfico mostra a distância percorrida por Cláudia em função do tempo trancorrido. Assim, as coordenadas ( x , y ) de qualquer um dos seus pontos, podem ser representadas como (tempo, distância) e informam, respectivamente, o tempo trancorrido e a dstância percorrida por Cláudia, neste período tempo. Logo, o ponto (30,100) informa que Cláudia percorreu 100 metros, em 30 segundos.

(c) A velocidade média desenvolvida por Cláudia foi de (100 metros) / (30 segundos), isto é, aproximadamente, 3,33 m/s.

(d) A velocidade de Cláudia durante o percurso foi variável. Esta conclusão pode ser obtida a partir da forma da curva. Nos primeiros 10 segundos do percurso, a curva sobe muito devagar, a partir daí começa a subir mais rapidamente. Em outras palavras, Cláudia corre mais rapidamente nos últimos 10 segundos do que nos primeiros 10 segundos. Isto significa que a sua velocidade média foi maior nos últimos 10 segundos, do que nos primeiros 10 segundos. De fato, sua velocidade instantânea, dada pela declividade da reta tangente à curva em cada ponto, aumenta gradualmente, durante todo o percurso.

Como vemos, a forma do gráfico nos permite não só concluir que a velocidade desenvolvida por Cláudia durante o percurso, não é constante, como também descrever, em termos qualitativos, a maneira como esta velocidade varia ao longo do percurso.

Exemplo 4



Laura começa a correr junto com Cláudia e chega no final do percurso (100 metros da entrada do parque), no mesmo tempo. Isto quer dizer que as duas amigas correm mantendo a mesma velocidade média. No entanto, Laura começa a correr mais rápido e, gradualmente, diminui a sua velocidade. Assim, a sua velocidade se torna cada vez menor à medida em que ela corre ao longo da alameda do parque. Um possível gráfico que descreve o movimento de Laura é mostrado a seguir.

[Maple Plot]



Análise e Comentários

Repare que este gráfico começa no ponto (0,0) e termina no ponto (30,100). Sobe relativamente rápido no início do movimento, o que corresponde a uma velocidade maior no começo do percurso e, então, no final, esta subida é mais lenta, o que corresponde a uma velocidade menor no final do percurso. O gráfico deste movimento não precisa ser exatamente igual a este, mas ele deve apresentar estas mesmas características.

Exemplo 5



Pedro começa a correr junto com Cláudia e Laura e chega no final da alameda do parque junto com as duas amigas desenvolvendo, consequentemente, a mesma velocidade média durante o percurso. No entanto, Pedro corre mantendo uma velocidade constante durante todo o trajeto. O gráfico que representa a distância percorrida por Pedro em função do tempo transcorrido é mostrado ao lado. Este gráfico é um segmento de reta com extremidades nos pontos (0,0) e (30,100). Não existe outra possibilidade para um movimento com estas características: a reta é a única curva com declividade constante, portanto esta é a única forma possível de representar um movimento que mantém velocidade constante.

[Maple Plot]



Agora é com você!

Ana faz um passeio a pé todas as manhãs. O gráfico mostra a distância da casa de Ana (eixo vertical) em função do tempo transcorrido (eixo horizontal), durante um de seus passeios. Use as informações fornecidas pelo gráfico e escreva um parágrafo que descreva o passeio de Ana.

[Maple Plot]



Os 1000 metros rasos

Os gráficos que aparecem na cena abaixo representam a evolução de dois atletas que competiram em uma prova de 1000 metros rasos. Nesta cena os pontos A e B, que representam os corredores, podem ser arrastados com o mouse. Faça uma pequena descrição do desempenho dos dois atletas durante a prova e, a seguir, responda as perguntas abaixo.

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(a) A que distância da partida e em que momento o corredor A alcança o corredor B?
(b) Quando o corredor A cruza a linha de chegada, a que distância estava o corredor B?
(c) Quantos metros cada corredor percorreu nos primeiros 60 segundos da prova? Qual dos corredores foi o mais rápido nesse trecho?
(d) Qual a velocidade média desenvolvida por cada corredor?
(e) Tente encontrar uma expressão algébrica que nos permita achar a distância percorrida por cada corredor em função do tempo transcorrido.

Adaptação da atividade originalmente proposta por Josep M. Navarro Canut disponibilizada na página do Proyecto Descartes.



Exemplo 6



O gráfico representa a mudança de temperatura ocorrida,
num período de 24 horas, em duas cidades A e B.

[Maple OLE 2.0 Object]



Análise e Comentários

Analisando este gráfico podemos afirmar que:

a) Ao longo do dia, a temperatura na cidade B decresce, depois aumenta e finalmente decresce novamente.

b) A maior taxa de decrescimento da temperatura ocorre na cidade A nas primeiras horas da manhã. Repare que o gráfico que representa a temperatura nesta cidade cai bruscamente durante o primeiro intervalo de tempo considerado (mais ou menos 5 horas).

c) A maior taxa de aumento médio de temperatura ocorre na cidade B, pela manhã. Esta conclusão pode ser tirada a partir das inclinações das retas secantes a cada gráfico. A reta secante à cuva que representa a temperatura na cidade B, no trecho que vai de mais ou menos 7 horas da manhã até o meio dia, é a que possui a maior inclinação.

d) Na cidade B, a temperatura mínima ocorre pela manhã e a máxima, por volta do meio dia.

e) Na cidade A, a temperatura atinge um mínimo duas vezes durante este dia.

Agora é com você!

1) O gráfico abaixo representa o número de coelhos de uma criação a cada dia. Observe este gráfico e responda as perguntas abaixo.

(a) Durante quanto tempo o número de coelhos aumentou?
(b) Qual o máximo de coelhos que a criação teve?
(c) Quando esse máximo ocorreu?

(d) Houve dois momentos nos quais a criação teve o mesmo número de coelhos?
(f) Qual a tendência da criação a longo prazo?

[Maple Plot]



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