Módulo II - Capítulo III
Alargando Horizontes



Resolvendo Desigualdades para Estimar Desvios



Estimando Desvios

Esta seção é dedicada ao estudo das funções do tipo [Maple Math] , onde a , h e k são números reais quaisquer. Estas funções podem ser obtidas a partir da composição de três funções, a saber f = F o h o g, onde g( x ) = x - h , h( x ) = | x | e F( x ) = a x + k , e aparecem em muitas situações onde estamos interessados em conhecer o tamanho da diferença entre duas grandezas, onde o sinal desta diferença não é relevante. O exemplo abaixo ilustra uma situação deste tipo.

Exemplo 1

Uma fábrica de embalagens industriais produz latas cilíndricas com um volume especificado pelos clientes. Um fabricante de óleo comestível fez uma grande encomenda para a fabricação de latas com capacidade de 900 [Maple Math] (900 ml). As latas devem ter altura igual a 15,64 e raio da base igual a 4,28 cm. No processo de fabricação podem ocorrer pequenos erros de medição e corte de tal maneira que o volume das latas se desvia, ligeiramente, da capacidade fixada. O controle de qualidade da fábrica precisa saber qual o erro máximo tolerado na altura e no raio, de modo que a lata produzida apresente um desvio no volume fixado, dentro dos padrões tolerados pela legislação em vigor.

O problema de lidar, simultaneamente, com erros de medida no raio e na altura da lata é mais complicado por isso vamos estudar um caso mais simples, onde consideramos que o raio da base tenha exatamente 4,28 cm de comprimento. Dessa maneira, o erro resultante no volume será resultante do desvio existente entre a altura padrão especificada e a altura real de cada lata fabricada.

Trabalhando no problema

Para tornar mais fácil a compreensão e resolução do problema proposto, é conveniente dividi-lo em etapas. Estas etapas são caracterizadas pelas questões abaixo, para as quais devemos obter respostas e/ou justificatifas.

(a) Uma lata cilíndrica com as medidas especificadas tem um volume de 900 ml? Para respondermos a esta questão é necessário usar a fórmula [Maple Math] que fornece o volume V de um cilindro com raio de base igual a r e altura h.

(b) Quanto o volume da lata se desvia do volume especificado se a sua altura for 15,7 cm? 15,6? 15,8? 15,5? 15, 65? 15,63?

(c) Se a altura real da lata fabricada é h , é possível determinar uma fórmula ou expressão matemática que forneça o desvio da altura padrão especificada?

(d) Conhecendo-se o desvio ocorrido na altura da lata (item anterior), é possível determinar o erro no volume especificado?

(e) Sabendo que o erro máximo aceitável para o volume da lata é de 10 [Maple Math] (10 ml), podemos determinar que alturas poderão ser aceitas pelo controle de qualidade da fábrica?

Analisando e respondendo às questões propostas

(a) É fácil verificar que uma lata com as dimensões especificadas possui um volume de 900 ml. Para isso, basta considerar r = 4,28 e h = 15,64 e substituir estes valores na fórmula dada, conforme fizemos no quadro abaixo. Dessa maneira obtemos que o volume V da lata de óleo com estas dimensões será de 900 ml, o que concorda com o volume especificado, com uma casa decimal de precisão. Esta precisão será a adotada na análise dos próximos itens.

Agora é com você!


    Utilize o quadro abaixo para calcular o volume da lata para vários valores de h.

    O que se pode concluir quando o valor de h é maior do que o especificado? E quando é menor?

(b) Podemos concluir imediatamente que se a altura h da lata for maior do que a altura especificada, o volume resultante também será maior do que aquele especificado. Analogamente, se a altura for menor do que a especificada, o volume resultante será menor do que 900 ml. Para calcularmos de quanto o volume da lata produzida se desvia do volume especificado basta, em cada caso, calcularmos o valor da diferença d = p r2 h - 900. Esta diferença será positiva quando h tiver um valor maior do que o especificado, indicando desta maneira que a lata fabricada excede o volume especificado em d ml. Um valor negativo para d indicará que o volume especificado (900 ml) excede o da lata fabricada em d ml.

Agora é com você!


    Use o quadro abaixo para calcular as diferenças para cada valor especificado de h.


(c) Como só estamos interessados no valor do desvio, não importando se este desvio é para mais ou para menos, podemos expressá-lo usando a função valor absoluto da seguinte maneira: d = | h - 15,64 |, onde d mede o desvio e h é a altura da lata fabricada.

(d) Da mesma maneira, o erro D cometido no volume especificado pode ser obtido pela fórmula D = 57.55 | h - 15,64 |, pois p 4.282 = 57.55 e o desvio no volume é devido apenas ao desvio ocorrido na altura da lata. (Observe que as contas feitas no item (b) são equivalentes a p 4,282 h - p 4,282 15,64 = p 4,282 (h -15,64) = 57.55 (h - 15,64). )

(d) Para determinar que alturas poderão ser aceitas pelo controle de qualidade da fábrica, basta determinar os valores de h que satisfazem a desigualdade 57,55 | h - 15,64 | < 10.

Portanto, a solução do problema proposto se resume a determinar os valores de h que satisfazem a inequação 57,55 | h - 15,64 | < 10.

Toda função da forma [Maple Math] pode ser definida por partes (intervalos) de tal maneira que, em cada um desses intervalos, coincida com uma função afim.

Os exemplos a seguir se destinam a aprofundar o estudo da função valor absoluto que aparece em problemas deste tipo de modo a facilitar a sua análise e resolução.

Exemplo 2

Use a definição de valor absoluto e encontre uma outra expressão analítica para a função [Maple Math] .

Solução

Pela definição de valor absoluto temos que [Maple Math] , isto é [Maple Math] .

Daí, temos que
[Maple Math] .

A nova expressão obtida para f( x ) mostra que, para valores de x menores do que 2, o gráfico de f coincide com o da reta [Maple Math] e, para valores de x maiores ou iguais a 2, com a reta [Maple Math] . É fácil verificar também, que estas duas retas passam pelo ponto (2, - 4) e que suas declividades são, respectivamente, -3 e 3. Observe o gráfico desta função e comprove estas afirmações.

[Maple Plot]



Agora é com você!

    Complete a tabela abaixo:

    [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]
    [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

    Como os valores obtidos na tabela acima se relacionam com a forma obtida para o gráfico da função?

    Respostas



Repare que pontos que estão a mesma distância do ponto x = 2, quer sejam maiores que 2, quer sejam menores que 2, têm a mesma imagem. Veja o gráfoco ao lado.

Isto significa que as partes do gráfico da função que estão a direita e a esquerda da reta x = 2, são a imagem espelhada uma da outra, isto é, se dobrarmos o papel usando esta reta como guia da dobra, as duas partes do gráfico coincidirão perfeitamente. Neste caso, dizemos que o gráfico da função é simétrico em relação à reta x = 2.

[Maple Plot]



Agora é com você!

    Nos itens abaixo, use a definição de valor absoluto para obter uma nova expressão analítica para as funções dadas e esboce o gráfico de cada uma delas. Use o quadro da direita para comprovar sua resposta. Para isso, no campo correspondente à função y=0, digite a expressão da função cujo gráfico você quer traçar e, a seguir, tecle "Enter".

    (a) y = 2 | x - 1 |

    (b) y = 3 | x | + 4

    (c) y = 0,5 | x + 4 | - 1

    (d) y = 5 - | x |

    Respostas

Gráficos de funções deste tipo são sempre formados por duas semi-retas de origem no ponto onde as suas retas suporte se interceptam e são simétricos em relação à reta vertical que passa por este ponto, isto é, as partes do gráfico à direita e à esquerda desta reta são a imagem espelhada uma da outra. Todo gráfico de funções deste tipo apresenta estas características gerais: tem a forma em V, mostrada nos exemplos anteriores, e um eixo de simetria vertical. O ponto onde o gráfico forma um bico é chamado de vértice da função e a reta vertical que passa por este vértice é o seu eixo de simetria. No exemplo 2, o ponto (2, - 4) é o vértice da função e a reta x = - 2 o seu eixo de simetria. A imagem desta função é o intervalo [- 4, [Maple Math] ).

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Conclusões

As respostas das perguntas anteriores nos levam às seguintes conclusões:

O gráfico de [Maple Math] tem um vértice no ponto ( h,k ). Este gráfico é formado de duas semiretas com origem no vértice, com declividades a e - a . O gráfico abre para cima se a > 0 e para baixo se a < 0.

Existe uma maneira diferente de interpretar e obter o gráfico da função [Maple Math] . A figura abaixo mostra o gráfico das mais simples destas funções: y = | x |.

Como vimos (Capítulo II - Praticando), a partir de transformações geométricas (reflexões, translações contrações e dilatações) aplicadas a este gráfico, podemos obter o gráfico de qualquer função do tipo [Maple Math] . Os exercícios abaixo têm como objetivo aplicar estas idéias.

[Maple Plot]



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