Módulo II - Capítulo IV
Aprendendo



Grandezas Vetoriais e Vetores no Plano



Algumas grandezas físicas, tais como temperatura, distância, altura, área e volume podem ser representadas por um único número que mede a sua intensidade ou tamanho. Estas grandezas são ditas grandezas escalares ou simplesmente escalares. Outras grandezas tais como força, velocidade e aceleração só podem ser descritas se conhecermos tanto a sua intensidade, como sua direção e sentido. Numa regata, por exemplo, os iatistas usam somente a força do vento para impulsionar seus barcos. Se a força do vento fosse constante e soprasse em uma única direção as coisas seriam muito fáceis, mas os iatistas velejam num percurso pré-determinado de forma a enfrentar ventos em todas as direções e com várias intensidades. Veja abaixo o exemplo de um percurso de regata olímpica.

Percurso Olímpico


É preciso dirigir o barco, manobrando as velas, para velejar na direção determinada no percurso. A posição das velas influencia não só a direção seguida pelo barco mas, também, a velocidade desenvolvida.

Regata

Grandezas que dependem de intensidade, direção e sentido, tal como a força do vento e a velocidade do barco, são ditas vetoriais e representadas, como nas figuras anteriores, por segmentos de reta orientados.

Na figura ao lado, representamos o segmento orientado de reta PQ , com ponto inicial em P e ponto final em Q. O símbolo || PQ || é usado para representar o comprimento, intensidade, módulo ou magnitude deste segmento. A direção é dada pelo ângulo [Maple Math] que o segmento de reta faz com a horizontal. A seta indica o sentido de percurso. Dessa maneira, ficam determinados os pontos inicial e final do segmento.

[Maple Plot]

Dois segmentos orientados de reta que têm a mesma direção, sentido e comprimento são ditos equivalentes. Na figura, os segmentos RS e OP são equivalentes.

[Maple Plot]

Para comprovar esta afirmação, podemos usar a fórmula de distância entre dois pontos para calcular os comprimentos estes dois segmentos e comprovar que eles têm o mesmo módulo. De fato,

|| RS || = [Maple Math] =
= 5 e

|| OP || = [Maple Math] = 5

Além disso, a declividade da reta que passa pelos pontos (-4,2) e (-1,6) é [Maple Math] e é igual a declividade da reta que passa pelos pontos (0,0) e (3,4) e, portanto, as retas suportes dos segmentos são paralelas, o que confirma que estes segmentos têm a mesma direção.

No desenho da regata, mostrado acima, qualquer destes dois segmentos orientados poderia ser usado para representar o mesmo vento, isto é, a mesma grandeza vetorial. Por este motivo, dizemos que se P e Q são dois pontos quaisquer no plano coordenado, então o conjunto de todos os segmentos orientados de reta equivalentes a PQ define a mesma classe de vetores que é determinada, de modo único por PQ . Dizemos, então que o segmento orientado PQ, é um representante desta única classe de vetores, denotada por [Maple OLE 2.0 Object] = PQ.

Em particular, existe um único segmento de reta orientado cujo ponto inicial é a origem do sistema de coordenadas. Dizemos que este é o representante do vetor [Maple OLE 2.0 Object] na posição canônica e, a menos de afirmação explícita em contrário, é este representante da classe de vetores definida por PQ , que usaremos neste texto, daqui em diante.

Esta convenção nos permite fazer uma conexão entre uma classe de vetores e os pontos do plano. Se o vetor [Maple OLE 2.0 Object] está representado na sua posição canônica (com extremidade inicial na origem do sistema de coordenadas considerado) e tem extremidade final no ponto de coordenadas ( a , b ), então o vetor [Maple OLE 2.0 Object] pode ser representado pelo par ordenado < a , b >. Os números a e b são chamados as componentes do vetor. Dessa maneira, existe uma correspondência biunívoca entre os vetores < a , b > e os pontos ( a , b ) do plano. Por exemplo, o vetor < 2, 3> tem extremidade inicial em (0,0) e extremidade final em (2,3). A representação do vetor < 2, 3> com ponto incial em (2, -1) tem seu ponto final em (4, 2), como mostra a figura ao lado.

[Maple Plot]



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De um modo geral, as componentes < [Maple Math] > do vetor [Maple OLE 2.0 Object] , representado pelo segmento de reta orientado com extremidade inicial P( [Maple Math] ) e extremidade final Q( [Maple Math] ) são dadas por

< [Maple Math] > = < [Maple Math] >

O comprimento de [Maple OLE 2.0 Object] é dado por

|| [Maple OLE 2.0 Object] || = [Maple Math]

Dois vetores < a , b > e < c , d > são iguais se e somente se a = c e b = d . O comprimento, intensidade ou magnitude deste vetor é dada por [Maple Math] e sua direção é definida pelo ângulo que a reta que passa pela origem e pelo ponto ( a , b ) faz com a direção positiva do eixo x .

O vetor < 0,0 >, chamado vetor zero ou vetor nulo e representado por O, tem comprimento zero e não tem direção. Qualquer ponto pode ser usado como uma representação deste vetor.

Exemplo:

Ache as componentes, comprimento e direção do vetor [Maple OLE 2.0 Object] = PQ, onde P(-3,4) e Q(-5,2).

Solução:



As componentes do vetor [Maple OLE 2.0 Object] são dadas por [Maple OLE 2.0 Object] = < -5 -(-3), 2-4> = < -2,-2 > e, consequentemente, seu comprimento é || [Maple OLE 2.0 Object] || = [Maple Math] . Este vetor aponta para baixo e para esquerda e está sobre a reta que passa por (0,0) e tem declividade dada por [Maple Math] = 1. Esta reta é a bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. Este fato permite concluir que o vetor [Maple OLE 2.0 Object] faz um ângulo de 225 graus com a direção positiva do eixo x, conforme mostra a figura.

[Maple Plot]



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Como vimos, um vetor com duas componentes está associado a um ponto do plano. As componentes de um vetor [Maple OLE 2.0 Object] = < [Maple Math] > são as coordenadas do ponto x = [Maple Math] e y = [Maple Math] . Este vetor tem extremidade inicial em (0,0) e extremidade final no ponto (x, y). Da mesma maneira, podemos associar vetores aos pontos do espaço tridimensional. Assim, o vetor de componentes <1,2,2 > tem sua extremidade inicial na origem de um sistema de coordenadas tridimensional, isto é, no ponto (0,0,0) e, extremidade final no ponto (1,2,2). Veja a figura.

[Maple Plot]

Neste caso, dados dois pontos A( [Maple Math] ) e B( [Maple Math] ) no espaço, as componentes do vetor AB definido por estes pontos, são dadas por < [Maple Math] > e seu comprimento pela fórmula || AB || = [Maple Math] .

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