Módulo II - Capítulo IV
Aprendendo



Operações com Vetores



Existem duas operações básicas envolvendo vetores: a adição e a multiplicação por um escalar, isto é, por um número real. Esta seção é dedicada a estudar estas operações e as suas principais propriedades.

Adição de Vetores



Todos conhecemos o princípio que afirma que não podemos somar maçãs com laranjas. Este mesmo princípio pode ser aplicado para entendermos a definição de adição de vetores. Suponha que temos maçãs e laranjas que precisam ser estocadas em caixas separadas. Para sabermos quantas maçãs e quantas laranjas existem em cada caixa, precisamos de um par de números. Imagine este par de números como um vetor, isto é, v = < [Maple Math] > , onde [Maple Math] = número de maçãs e [Maple Math] = número de laranjas. Embora não possamos adicionar [Maple Math] e [Maple Math] é fácil entender que podemos adicionar um vetor v a um outro vetor w , componente a componente. Para entender essa afirmação, imagine que um amigo nosso também estocou suas maçãs e laranjas em caixas separadas e representou a quantidade de cada fruta por um vetor w = < [Maple Math] > , onde [Maple Math] = número de maçãs e [Maple Math] = número de laranjas. Para sabermos quantas maçãs e quantas laranjas temos juntos, basta adicionarmos o número de maças e laranjas estocadas nas respectivas caixas, isto é, basta calcularmos o vetor v + w = < [Maple Math] >. A componente [Maple Math] do vetor v + w, representará o número total de maçãs e a componente [Maple Math] , o número total de laranjas.

A adição de vetores pode ser interpretada geometricamente.

Neste sentido, a soma de dois vetores v e w é um outro vetor z = v + w que pode ser obtido unindo-se a extremidade inicial do vetor w, à extremidade final do vetor v, isto é, ao final de v, coloque o início de w. Assim, z = v + w vai do começo de v ao final de w, conforme é ilustrado no desenho ao lado.

[Maple Plot]



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Pelas atividades anteriores é fácil concluir que podemos escolher viajar ao longo de v e, então, ao longo de w ou tomar o atalho v + w . A soma v + w pode ser representada, então, pelo diagonal do paralelogramo cujos lados são formados pelos vetores v e w . O resultado seria o mesmo se você escolhesse viajar ao longo de w e, depois, ao longo de v . Em outras palavras, v + w = w + v.

Esta propriedade pode ser verificada analiticamente, utilizando-se a definição de adição de vetores. Assim, temos v + w = < [Maple Math] > + < [Maple Math] > = < [Maple Math] > = < [Maple Math] > = < [Maple Math] > + < [Maple Math] > = w + v .

Como já vimos, o vetor 0 tem componentes (0,0). Desse modo, temos que v + 0 = v .

Multiplicação por escalar



Adicionando-se o vetor v a ele mesmo, obtemos um vetor cujo comprimento é o dobro do vetor original e cujas componentes são < [Maple Math] >. No exemplo das maçãs e laranjas esta operação é equivalente a dobrar a quantidade inicial de maçãs e de laranjas. Este mesmo resultado pode ser obtido e entendido como uma nova operação com vetores, no caso, como uma multiplicação do vetor v pelo número 2, definida por 2 v = < [Maple Math] >.

Dessa maneira, vetores podem ser multiplicados por qualquer número real c. As componentes do vetor cv serão dadas por < c [Maple Math] , c [Maple Math] > . O número c é chamado um escalar e a operação acima definida como multiplicação por escalar.

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O produto c v de um escalar c por um vetor v , pode ser interpretada, geometricamene, por uma dilatação ou uma contração do vetor v por um fator | c |. Se | c | < 1, o módulo do vetor c v é menor do que o módulo do vetor v. Por isso dizemos que o vetor v sofre uma contração. Da mesma forma, se | c | > 1, o módulo do vetor cv é maior do que o módulo de v e dizemos que o vetor v sofre uma dilatação.Se c > 0, o vetor c v tem o mesmo sentido do vetor v . Se c < 0, o vetor c v tem sentido contrário ao vetor v. Assim, o vetor 2 v tem o dobro do comprimento do vetor v e o vetor - v , o mesmo comprimento e sentido oposto.

A figura ao lado ilustra estes fatos.

[Maple Plot]



O vetor - w , dito o simétrico de w , permite definir a subtração de vetores. O vetor v - w é definido como v - w = v + (- w ). As componentes deste vetor serão dadas por < [Maple Math] >. Para desenhar este vetor, observe que é preciso viajar primeiro ao longo de v e, então "voltar atrás" ao longo de w. Veja o desenho ao lado.

[Maple Plot]



Repare que, geometricamente, o vetor v - w corresponde à outra diagonal do paralelogramo cujos lados são formados pelos vetores v e w, conforme ilustrado na figura.

De maneira análoga, define-se a adição de vetores e a multiplicação por escalar no espaço tridimensional. Assim, se v = < [Maple Math] > e w = < [Maple Math] > temos que v + w = < [Maple Math] > . Da mesma maneira se c é um escalar temos que o vetor cv é definido por < [Maple Math] >.

Exemplo:

1) Seja u = < - 1,3 > e v = < 4,7 >. Ache as componentes dos vetores:

(a) u + v (b) 3u (c) 2u - v


Solução:



(a) u + v = <- 1, 3> + <4,7 > = < 3,10 >.

A figura ao lado representa, geometricamente, esta soma.



(b) 3u = 3 < - 1,3 > = < - 3,9 >. Veja a sua representação geométrica.

[Maple Plot]

(c) 2u - v = 2 < - 1,3 > - < 4,7 > = < - 2, 6 > - < 4,7 > = < - 6, - 1 >.

Combinação Linear de Vetores

Combinando as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar formamos o que se chama em matemática de uma combinação linear de vetores.

Definição:

Sejam v e w dois vetores e c e d dois escalares a adição c v + d w é dita uma combinação linear dos vetores v e w .

A soma v + w é uma combinação linear especial dos vetores v e w . Neste caso, c = d = 1. O vetor 2 v é uma combinação linear dos vetores v e w , onde c = 2 e d = 0.

Conhecendo-se v e w é fácil calcular uma combinação qualquer destes dois vetores. O problema inverso é muito mais difícil. Neste caso, os vetores v , w e as componentes do vetor z = c v + d w são conhecidos e queremos calcular os multiplicadores c e d, isto é, queremos calcular os escalares c e d de modo a escrever o vetor z (dado) como combinação linear dos outros dois vetores v e w.

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Nem sempre é possível expressar um dado vetor como combinação linear de outros dois e, quando possível, pode existir mais de uma solução. Para entender esta afirmação, repare que este problema é equivalente a achar a solução de um sistema de equações lineares, como mostra o exemplo abaixo. O número de componentes do vetor fornece o número de equações do sistema. Se o sistema for determinado será possível resolver o problema dado, isto é, escrever o vetor z , de modo único, como combinação linear dos vetores v e w .

Exemplo:

Considere os vetores v = < 1,- 2 > e w = < 0, 1 > . Se z = cv + dw = < 4, 2 >, calcule c e d.

Solução:

Como v = <1, - 2 > e w = < 0, 1 > , cv + dw é um vetor cujas componentes são dadas por < c , - 2c + d > . Como cv + dw = < 4,2 >, temos que < c, - 2c + d > = < 4,2 > . Esta igualdade é equivalente ao sistema c= 4 e - 2c + d =2. Resolvendo este sistema obtemos que c = 4 e d = 10. De fato, verificando o resultado temos que 4v + 10 w = 4 < 1, - 2> + 10 < 0, 1 > = < 4, 2 >.

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    Escreva o vetor
    z = < 4, 2 , - 6 > como combinação linear dos vetores v = < 1, - 2, 1 > e w = < 0, 1, - 1>.
    O que acontece neste caso?

    Resposta.



Vetores Unitários

Dizemos que um vetor u é unitário se o seu comprimento é 1, isto é, quando || u || = 1. Se v não é o vetor nulo, então o vetor u = v / || v || = 1/|| v || . v é o vetor unitário na direção de v . Qualquer vetor na direção de v , de mesmo sentido ou sentido oposto, é um mútiplo escalar deste vetor unitário u .

Exemplo:

Ache o vetor unitário na direção de v = < - 3, 2 >.

Solução:

O unitário na direção de v será dado por v / || v ||. Como

|| v || = [Maple Math] , temos que u = v / || v || = [Maple Math] . < - 3, 2 > = < [Maple Math] >.

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    Faça as contas e confirme que, realmente, || u || = 1.
     

Os dois vetores i = < 1, 0 > e j = < 0,1 > são os unitários na direção do eixo x e y , respectivamente.

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Qualquer vetor do plano pode ser escrito com combinação linear dos vetores i e j de uma forma muito fácil: os coeficientes da combinação linear são as componentes do vetor dado. De fato, se v = < [Maple Math] > temos que v = < [Maple Math] , 0 > + < 0, [Maple Math] > =

[Maple Math] < 1,0 > + [Maple Math] < 0,1 > = [Maple Math] i + [Maple Math] j . Os escalares [Maple Math] e [Maple Math] podem ser entendidos, respectivamente, como as componentes horizontal e vertical do vetor v .

Um problema muito interessante e útil é saber determinar as componentes de um vetor numa determinada direção, conhecendo-se o ângulo que o vetor faz com a direção dada e o seu comprimento. Na seção Parametrizando um Caminho, nós resolvemos um problema deste tipo de uma maneira muito especial. Para resolver o problema proposto naquela seção, foi preciso decompor o vetor que representava o curso (direção e velocidade) seguido pelo corredor, nas suas respectivas componentes horizontal e vertical. Naquela exemplo, resolvemos este problema usando nossos conhecimentos sobre retas e o teorema de Pitágoras.

O problema de decompor um vetor em componentes segundo uma dada direção e, em particular, o problema de decompor um vetor nas suas componentes horizontal e vertical aparece em muitas outras situações da vida prática. Por exemplo, o problema de calcular o trabalho realizado por uma força de intensidade conhecida, que faz um ângulo de 60o com a horizontal, ao deslocar um objeto sobre um plano inclinado é um problema deste tipo. No entanto, não é possível resolvê-lo da maneira como foi feito na seção Parametrizando um Caminho. Outro exemplo: sabendo-se que um avião voa seguindo um curso que faz um ângulo de 65o com a direção norte (direção do vetor velocidade) mantendo uma velocidade constante de 720 km/h (comprimento do vetor velocidade) não é possível, usando o teorema de Pitágoras e os conhecimentos que adquirimos até aqui, achar as componentes horizontal e vertical da velocidade desenvolvida pelo avião. A componente horizontal desta velocidade, por exemplo, fornece a velocidade com que o avião se desloca em relação ao solo. Este problema pode ser resolvido, facilmente, usando conceitos básicos de Trigonometria e voltaremos a ele no módulo 4 deste curso.



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