Módulo II - Capítulo IV
Alargando Horizontes



Funções Vetoriais e Curvas no Espaço

Em geral uma função é uma regra que associa a cada elemento de seu domínio um único elemento de sua imagem.

Repare que, nos exemplos estudados nas seções desse capítulo, para cada valor do parâmetro t, existe um único vetor posição [Maple OLE 2.0 Object] (t) que determina a posição da partícula em cada instante. Desse modo, podemos entender essa correspondência como uma função cujo domínio é um conjunto de números reais (os valores permitidos para t) e cuja imagem é um conjunto de vetores. Uma função deste tipo é dita uma função vetorial ou uma função de valor vetorial .

O conceito de função vetorial pode ser empregado para estudarmos movimentos de partículas no espaço. Como sabemos, para determinar a posição de um ponto no espaço, precisamos de um terno ordenado de números reais (x, y, z) que são as suas coordenadas. Da mesma forma, a posição de uma partícula que se desloca no espaço será determinada por três funções coordenadas x = f(t) , y = g(t) e z = h(t) que definem a posição da partícula em cada instante de tempo t. Chamando de i , j , k os vetores unitários nas direções dos respectivos eixos coordenados x , y e z , isto é, i = < 1, 0, 0 >, j = < 0, 1, 0 > e k = < 0, 0, 1 >, o vetor posição é determinado pela equação vetorial [Maple OLE 2.0 Object] (t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k.

Se uma partícula se desloca no espaço com trajetória descrita por este vetor, então o caminho percorrido por ela durante o seu movimento define uma curva no espaço ou uma curva espacial cuja parametrização é dada pela equação anterior. Se considerarmos a função vetorial [Maple OLE 2.0 Object] (t) = < f(t), g(t), h(t) > , então [Maple OLE 2.0 Object] (t) é um vetor de posição do ponto P(f(t), g(t), h(t)) sobre uma curva C. Assim, qualquer função vetorial [Maple OLE 2.0 Object] define uma curva espacial C que é traçada pela ponta do vetor [Maple OLE 2.0 Object] (t) em movimento, como é ilustrado na figura ao lado.

[Maple Plot]



Equação Vetorial e Equações Paramétricas da Reta

No plano, uma reta pode ser determinada sendo conhecidos um de seus pontos e a sua inclinação (direção). A equação da reta pode então ser escrita utilizando-se a forma ponto-inclinação.

Da mesma maneira, uma reta no espaço fica determinada quando conhecemos um de seus pontos e a sua direção. O problema nesse caso é como determinar a direção da reta. Esse problema é facilmente resolvido usando-se o que aprendemos sobre vetores: a direção de uma reta, em duas ou três dimensões, pode ser descrita de uma forma muito conveniente por um vetor, como faremos a seguir.

Considere uma reta L, um ponto [Maple Math] ( [Maple Math] ) pertencente a L e um vetor v , paralelo a L. Determinar a equação da reta L é equivalente a determinar as coordenadas de um ponto arbitrário P de coordenadas ( x , y , z ) em L. Para isso, vamos considerar os vetores ro e r , como os vetores posição de [Maple Math] e de P , respectivamente. Isto é, se O é a origem do sistema de coordenadas tridimensionais considerado, ro = [Maple OLE 2.0 Object] e r = [Maple OLE 2.0 Object]

. Se a é o vetor com representante [Maple OLE 2.0 Object] , como mostra a figura ao lado, pela regra do trapézio para subtração de vetores temos a = r - ro , isto é, r = ro + a . Mas, como a e v são vetores paralelos, então a é um múltiplo escalar de v , isto é, a = t v onde t é um número real. Assim, r = ro + t v , que é a equação vetorial da reta L. Repare que dessa maneira, obtemos as coordenadas do vetor r e, consequentemente, as coordenadas do ponto P sobre a reta, em função das coordenadas do ponto [Maple Math] , cujo vetor posição é ro , e do vetor v , que determina a direção da reta L. Cada valor do parâmetro t fornece um vetor posição r de um ponto de L.



Agora é com você!


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Podemos escrever a equação vetorial r = ro + t v em termos das coordenadas dos vetores r , ro e v . Assim, como r = < x , y , z >, ro = < [Maple Math] > (por quê?), se v = < a , b , c >, a equação vetorial se torna:

< x, y , z > = < [Maple Math] + ta , [Maple Math] + tb , [Maple Math] + tc >

Como a igualdade de vetores implica na igualdade de seus correspondentes componentes, da equação vetorial acima resulta três equações escalares:

x = [Maple Math] + at ; y = [Maple Math] + bt ; z = [Maple Math] + tc , onde t é um número real.

As equações escalares acima são chamadas equações paramétricas da reta L que passa pelo ponto [Maple Math] ( [Maple Math] ) e é paralela ao vetor v = < a , b , c > . Cada valor do parâmetro t fornece um ponto P ( x , y , z ) da reta L.

Exemplo 1

(a) Determine a equação vetorial e paramétrica de uma reta que passa pelo ponto ( - 2, 3, 1) e é paralela ao vetor v = < 1, - 3, 2 > .

(b) Determine outros dois pontos pertencentes à reta.

Solução

(a) Como ro = < - 2, 3, 1 > e v = < 1, - 3, 2 > , a equação vetorial se torna

r = < - 2, 3, 1 > + t < 1, - 3, 2 > ou r = < - 2 + t , 3 - 3 t , 1 + 2 t >.

Lembrando que i , j , k são os vetores unitários nas direções dos respectivos eixos coordenados x , y e z , isto é, i = < 1, 0, 0 >, j = < 0, 1, 0 > e k = < 0, 0, 1 >, podemos escrever a equação anterior como

r = ( - 2 + t ) i + (3 - 3 t ) j + (1+ 2 t ) k .

As equações paramétricas são dadas por x = - 2 + t ; y = 3 - 3 t e z = 1 + 2 t

(b) Variando o valor do parâmetro t , determinamos vários pontos sobre a reta L. Assim, para t = 1 temos x = - 1; y = 0 e z = 3. Desse modo, o ponto ( - 1, 0, 3) pertence à reta L. Da mesma forma, para t = - 1, temos que o ponto ( - 3, 6, - 1) pertence à L.


A equação vetorial e as equações paramétricas de uma reta não são únicas. Se considerarmos outro ponto [Maple Math] ou um vetor paralelo diferente (lembre-se de que qualquer múltiplo escalar do vetor v , também será paralelo à reta), obteremos uma outra equação para descrever a mesma reta L. Assim, se no Exemplo 1, tivessémos escolhido o ponto ( - 1, 0, 3), ao invés do ponto ( - 2, 3, 1) para obter a equação da reta L, as equações paramétricas seriam dadas por x = - 1 + t ; y = - 3 t e z = 3 + 2 t. Por outro lado, se tivessémos mantido o ponto ( - 2, 3, 1) mas escolhido o vetor v = < 2, - 6, 4 > , chegaríamos às equações x = - 2 + 2 t ; y = 3 - 6 t e z = 1 + 4 t.

Em geral, o vetor v , usado para descrever a direção da reta L, é chamado vetor diretor de L e os números a , b e c são as suas componentes. Como qualquer vetor paralelo a v pode ser usado para determinar à equação de L, quaisquer três números proporcionais a a , b e c podem ser usados como componentes do vetor diretor de L.

Equação da reta na forma simétrica

Podemos eliminar o parâmetro t das equações paramétricas de uma reta. Para isso, se nenhum dos números a , b e c é zero, podemos resolver cada uma das equações para t e igualar os resultados. Desse modo, obtemos:

[Maple Math] = [Maple Math] .

Essas equações são chamadas equações simétricas de L. Observe que os números a, b e c que aparecem no denominador desta equação são as componentes do vetor diretor de L, isto é, as componentes de um vetor paralelo a L e, portanto, determinam a direção da reta L. Mesmo que uma dessas componentes seja nula ainda podemos eliminar o parâmetro t e obter as equações simétricas da reta. Por exemplo, se a = 0, podemos escrever as equações de L como

[Maple Math] , [Maple Math]

Estas equações indicam que a reta em questão pertence ao plano vertical [Maple Math] .

Exemplo 2

Determine as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelos pontos A(1, - 2, 1) e B( - 2, - 1, 0). Qual a interseção desta reta com o plano xy ?

Solução

Se o ponto A e o ponto B pertencem à reta, o vetor [Maple OLE 2.0 Object] determina a sua direção e, portanto, pode ser usado como vetor v , diretor da reta em questão. Além disso, tanto o ponto A como o ponto B podem ser usados como o ponto [Maple Math] . Dessa maneira, como v = [Maple OLE 2.0 Object] = < - 3, 1, -1 > e considerando A = [Maple Math] = (1, - 2, 1) as equações paramétricas da reta serão dadas por

x = 1 - 3 t ; y = - 2 + t e z = 1 - t

e as equações simétricas por

[Maple Math] = [Maple Math]

A equação intercepta o plano xy quando z = 0. Fazendo z = 0 em qualquer das equações anteriores obtemos x = - 2 e y = - 1. Portanto a reta intercepta o plano xy no ponto de coordenadas ( - 2, - 1, 0).

Exemplo 3

Mostre que as retas [Maple Math] com equações paramétricas dadas por x = 1 + t ; y = - 2 + 3 t e z = 4 - t e [Maple Math] com equações paramétricas iguais a x = 2 s ; y = 3 + s e z = - 3 + 4 s não se interceptam e não são paralelas.

Solução

As retas dadas não são paralelas pois seus respectivos vetores diretores < 1, 3, - 1 > e < 2, 1, 4 > não são paralelos (suas componentes não são proporcionais).

Se as retas se interceptassem, existiria um ponto ( x , y , z ) que pertenceria as duas retas, isto é, este ponto deveria satisfazer ao mesmo tempo aos dois conjuntos de equações paramétricas dadas. Desse modo, existiriam valores para t e s tais que x = 1 + t = 2 s ; y = - 2 + 3 t = 3 + s e z = 4 - t = - 3 + 4 s. Resolvendo-se as duas primeiras equações obteremos [Maple Math] e [Maple Math] que não satisfazem à terceira equação. Não existem, portanto, valores para t e s que satisfaçam às três equações simultaneamente. Logo, as retas dadas não se interceptam e não têm a mesma direção.

O exercício acima nos leva a concluir que as retas estudadas não podem pertencer ao mesmo plano pois se elas pertencessem ao mesmo plano e não se interceptassem seriam paralelas, isto é, teriam a mesma direção. Retas que não pertencem a um mesmo plano são ditas retas reversas. Esta conclusão nos leva a seguinte definição.

Definição

Retas não coplanares, isto é, que não estão num mesmo plano, são ditas reversas.

Agora é com você!



    Determine se as retas [Maple Math] e [Maple Math] dadas são paralelas, reversas ou concorrentes. Se forem concorrentes, determine o ponto de interseção das mesmas.

      (a) [Maple Math] : [Maple Math] = [Maple Math] e [Maple Math] : [Maple Math] = [Maple Math]

      (b) [Maple Math] : [Maple Math] ; [Maple Math] ; [Maple Math] e [Maple Math] : [Maple Math] ; [Maple Math] ; [Maple Math]

      (c) [Maple Math] : [Maple Math] ; [Maple Math] ; [Maple Math] e [Maple Math] : [Maple Math] ; [Maple Math] ; [Maple Math]

Respostas



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