Módulo II - Capítulo IV
Aprendendo



Parametrizando um Caminho



Já vimos que um conjunto de equações paramétricas determina um único caminho. No entanto, um caminho pode ser descrito por mais de um conjunto de equações paramétricas. Para entender porque isto é verdade, lembre-se que as equações paramétricas fornecem informações que relacionam a posição do objeto com o tempo transcorrido para alcançá-la. Dessa maneira, as trajetórias de dois objetos que percorrem o mesmo caminho com velocidades diferentes serão descritas por conjuntos diferentes de equações paramétricas. O exemplo a seguir ilustra este fato.

A figura ao lado mostra um mapa de um parque localizado no centro de uma cidade, sobreposto a um sistema de coordenadas no plano. A origem do sistema é a interseção da Avenida das Rosas com a Avenida Ipês e a unidade de medida é 1 km. O parque é cortado por uma pista central de 7 km de comprimento. Às 7h de uma manhã de domingo, João começa a correr pela pista central na direção noroeste, a partir da fonte, a uma velocidade de 6 km/h. Às 7h 10, Adriana sai com a sua bicicleta a partir da interseção da pista central com a Av. Ipês, desenvolvendo uma velocidade de 15 km/h. Às 7h 20, André deixa o quiosque dirigindo para noroeste pela pista central, a 30 km/h.

Se t denota o tempo (em minutos) decorrido a partir das 7h, é possível representar o caminho percorrido por cada pessoa por um par de equações do tipo

[Maple Math]
[Maple Math]

Para determinar, em cada caso, as constantes a, b, c e d é necessário usar as demais informações fornecidas. João começa a correr a partir do ponto de coordenadas (3,2), no instante em que t = 0. Esta informação é suficiente para determinarmos, nas equações acima, as constantes a e c. Para isso, basta substituir estes valores nas equações acima e resolvê-las. Desse modo, obtemos:

[Maple Math] Þ a = 3
[Maple Math] Þ c = 2

Para determinar b e d , observe que, em um minuto, João corre ( [Maple Math] horas) (6 km/h) = 0,1 km, na direção noroeste. Durante este movimento a sua coordenada x decresce, e a sua coordenada y cresce, na mesma proporção. Para determinar qual o decrescimento na coordenada x e qual o correspondente crescimento na sua coordenada y, quando há uma variação de 0,1 km na direção noroeste, podemos usar o Teorema de Pitágoras, como é ilustrado na figura abaixo. Repare que a direção noroeste é caracterizada por fazer um ângulo de 45 graus com a horizontal. Por isso, o triângulo mostado na figura é isósceles e, consequentemente [Maple Math] .

[Maple Plot]

Desse modo, fazendo [Maple Math] = h, temos que [Maple Math] e, daí [Maple Math] que é aproximadamente igual a 0,07. Isto significa que quando João se desloca a 0,1 km/min na direção noroeste, este movimento resulta num decréscimo da sua coordenada x igual a 0,07 km por minuto e num aumento da sua coordenada y igual 0,07 km por minuto. Portanto, em t minutos, suas coordenadas serão dadas por

[Maple Math]
[Maple Math]

para t ³ 0, que são as equações paramétricas que descrevem a trajetória de João.

Agora é com você!


    1) Escreva as equações paramétricas que descrevem a trajetória de Adriana.

      Sugestão: Escreva as equações na forma [Maple Math] e [Maple Math] .

    2) Escreva as equações que descrevem a trajetória de André.

    3) Eliminando o parâmetro dos três conjuntos de equações paramétricas obtidas, escreva as equações cartesianas que descrevem a trajetória dos três personagens e verifique que os três se deslocam ao longo da mesma reta. Qual a diferença entre os três movimentos?

    Respostas

O exemplo e exercícios anteriores mostram que equações cartesianas não são completamente adequadas para descrever trajetórias de objetos móveis: equações deste tipo não fornecem, por exemplo informações que relacionem a posição do objeto com o tempo transcorrido. Além disso, para obtermos as equações paramétricas de uma trajetória, não basta conhecermos a "intensidade" ou valor absoluto da velocidade com que o objeto se desloca: é preciso conhecer também, a direção e o sentido do movimento. Grandezas que dependem não somente do seu valor absoluto ("intensidade") mas também da sua direção e sentido, são ditas grandezas vetoriais e, usualmente, são representadas por vetores. A próxima seção é destinada a um breve estudo de vetores no plano.

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