Respostas - Funções Quadráticas



Módulo de um número complexo



(a) O módulo de um número complexo z = a + bi, denotado por [Maple Math] é definido por [Maple Math] .

(b) Geometricamente, o módulo de um número complexo fornece o comprimento do vetor (a,b) ou, em outras palavras, a distância do ponto a + bi do plano complexo, à origem.

(c) O módulo da diferença entre dois complexos pode ser interpretado como o comprimento da diagonal secundária do paralelogramo formado pelos dois complexos, interpretados como vetores no plano.

(d) O comprimento de um dos lados de um triângulo é sempre menor ou igual que a soma dos comprimentos dos dois outros lados. A igualdade vale quando os dois complexos em questão são iguais a zero. Por isso esta desigualdade é conhecida como desigualdade triangular.

(e) Como uma circunferência de centro na origem e raio igual a 1.

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Exercício 1



(a) O vértice da parábola [Maple Math] é o ponto V = (-4, -7), seu eixo de simetria é a reta vertical de equação x = -4 e sua imagem o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a 7.

(b) O vértice da parábola [Maple Math] é o ponto V = (0, 9), seu eixo de simetria é a reta vertical de equação x = 0 e sua imagem o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a 9.

(c) O vértice da parábola [Maple Math] é o ponto V = (9/2, 81/4), seu eixo de simetria é a reta vertical de equação x = 9/2 e sua imagem o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a 81/4.

(d) O vértice da parábola [Maple Math] é o ponto V = (29/6, -1083/4), seu eixo de simetria é a reta vertical de equação x = - 29/6 e sua imagem o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a -1083/4.

(e) O vértice da parábola [Maple Math] é o ponto V = (0, 7), seu eixo de simetria é a reta vertical de equação x = 0 e sua imagem o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a 7.

(f) O vértice da parábola [Maple Math] é o ponto V = (1, 9), seu eixo de simetria é a reta vertical de equação x = 1 e sua imagem o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a 9.

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Exercício 2



(a) A função [Maple Math] pode ser escrita na forma padrão como f(x) = 4 ( x + 1) 2 -7.

(b) A função [Maple Math] pode ser escrita na forma padrão como f(x) = -3 ( x -1) 2 + 3.

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Exercício 3



(a) O discriminante da equação x2 + 4 = 0 é negativo e, portanto, o grafico da função. [Maple Math] não corta o eixo dos x.

(b) O discriminante da equação x2 + 4x + 4 = 0 é igual a zrero e, portanto, o grafico da função. [Maple Math] tangencia o eixo dos x.

(c) O discriminante da equação -x2 + 4x + 4 = 0 é positivo e, portanto, o grafico da função. [Maple Math] corta o eixo dos x em dois pontos.

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Exercício 4



(a) As raízes da equação [Maple Math] são os números complexos conjugados (3 + i)/2 e (3 -i)/2.

(b) As raízes da equação [Maple Math] são x = 1/2 e x = 2.

(c) A equação [Maple Math] tem apenas uma raiz real que é x = 1.

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Exercício 5



(a) m = 15

(b) m = 48

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Exercício 6



(a) A função [Maple Math] pode ser escrita na forma fatorada como g(x) = (x + Ö2)( x - Ö2). Os pontos onde o gráfico desta função corta o eixo x são x = Ö2 e x = - Ö2. O vértice da função ocorre no ponto (0, - 2).

(b) A função [Maple Math] pode ser escrita na forma fatorada como f(x)=x (x + 8/3) Os pontos onde o gráfico desta função corta o eixo x são x = 0 e x = - 8/3. O vértice da função ocorre no ponto (- 4/3, - 48).

(c) A função [Maple Math] pode ser escrita na forma fatorada como h(x) = (x + 5/3) (x - 1/2). Os pontos onde o gráfico desta função corta o eixo x são x = - 5/3 e x = 1/2. O vértice da função ocorre no ponto (- 7/12, - 507/2).

(d) A função [Maple Math] pode ser escrita na forma fatorada como P(t) =(t - 2 - 3i)(t - 2 + 3i). O gráfico desta função não corta o eixo x. O vértice da função ocorre no ponto (2, 9).

(e) A função G(x) = 13 - x2 pode ser escrita na forma fatorada como G(x)= (x + Ö13)( x - Ö13). Os pontos onde o gráfico desta função corta o eixo x são x = Ö13 e x = - Ö13. O vértice da função ocorre no ponto (0, 13).

(f) A função [Maple Math] pode ser escrita na forma fatorada como H(x) =(x + 9)(x + 5). Os pontos onde o gráfico desta função corta o eixo x são x = - 9 e x = - 5. O vértice da função ocorre no ponto (- 7, 4).

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Exercício 6



(a) Os pontos onde o gráfico da função quadrática f(x) corta o eixo x, são (x1, 0) e (x2,0), onde x1 e x2 são as raízes reais da equação f(x) =0. No caso das raízes serem iguais o gráfico tangencia o eixo x no ponto (x1, 0) e no caso das raízes serem complexas, o gráfico não corta o eixo x.

(b) A coordenada x do vértice da função quadrática f(x) = 0 é o ponto médio das raízes da equação f(x) = 0.

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Exercício 6



(a) A cordenada x do vértice é 5 e a coordenada y será dada pelo valor da função em x = 5, isto é, V = (5 f(5)).

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Exercício 7



(a) A solução da inequação [Maple Math] é o intervalo (- 4, 3).

(b) A solução da inequação [Maple Math] é a união dos intervalos (- ¥, -1) e (1/2, ¥).

(c) A solução da inequação [Maple Math] é a união dos intervalos (- ¥, 0) e [5, ¥).

(d) A solução da inequação [Maple Math] é o intervalo [- 5, 20].)

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Problema 1



O lucro máximo ocorrerá quando a produção for de 1.300 camisetas e será de R$ 7. 200,00.

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Problema 2



(a) A renda será dada pela função R(x) = (20 - 0,005 x) x. A renda será máxima quando forem vendidas 2.000 camisetas.

(b) Este nível de venda gerará prejuízo!

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Problema 3



O curral de área máxima será um quadrado de 25m de lado.

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Problema 4



x = 25m e a área máxima cercada será de 1250 m2.

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Problema 5



35 lugares.

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Problema 6



20 metros.

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Custo para Estampar Camisetas



(a) De acordo com os dados levantados, o custo C para estampar x camisetas será dado por C(x) = 1250 + 7x.

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Resolvendo e Interpretando Desigualdades



A desigualdade é verdadeira para todos os valores de x entre 100 e 2.500, isto é, para 100 < x < 2.500. No contexto do problema da estamparia, este é o intervalo de produção para que a fábrica não tenha prejuízo, isto é, a fábrica deve produzir entre 100 e 2.500 camisetas para não ter prejuízo.

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Vendendo Camisetas

Lembre-se que o preço de venda é uma função do número estimado de camisetas a serem vendidas. Para ser possível vender mais camisetas mensais é necessário baixar o preço de venda. Esta observação permite entender porque a partir de um certo nível de vendas, no caso 2500 camisetas, o negócio ao invés de lucro, volta a apresentar prejuízo.

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Gráficos de Parábolas

(a) Dilatar verticalmente o gráfico de y = x2 por um fator de escala 2. A seguir transladar o gráfico resultante 2 unidades para a direita e 5 para cima. O vértice (2, 5) é um ponto de mínimo e a reta x = 2 o eixo de simetria da parábola.

(b) Contrair verticalmente o gráfico de y = x2 por um fator de escala igual a 0,2. A seguir transladar o gráfico resultante 5 unidades para a esquerda e 2 para cima. O vértice (-5, 2) é um ponto de mínimo e a reta x = -5.

(c) Refletir o gráfico de y = x2 em relação ao eixo x. Depois transladar o gráfico resultante 2 unidades para a direita e 5 unidades para baixo. O vértice (2, -5) é um ponto de máximo e a reta x = 2 seu eixo de simetria.




Gráficos de Parábolas


( a ) a > 0 e [Maple Math] = 0 .



( b ) a > 0 e [Maple Math] < 0 .



( c ) a < 0 e [Maple Math] = 0 .



( d ) a > 0 e [Maple Math] > 0 .




Fórmula Soma-Produto

Resolvendo a equação do segundo grau x2 - 13 x + 40 = 0, encontramos os números procurados que são 5 e 8.

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O Passeio no Parque

(a) Trajetória de Adriana: x = 0,177 (t - 10) e y = 5 - 0,177 (t-10).

(b) Trajetória de André: x = 5 - 0,354 (t - 20) e y = 0,354 (t - 20)

(c) Nos três casos a equação cartesiana do movimento é dada por y + x - 5 = 0. A diferença nos três movimentos está na velocidade com que o caminho é percorrido por cada um dos corredores. Esta informação não pode ser obtida por meio da equação cartesiana do movimento.

Combinação Linear

Devemos achar duas constantes reais a e b tais que z = av + bw, isto é, devemos achar a e b tais que

< 4, 2 , - 6 > = a < 1, - 2, 1 > + b <0, 1, - 1>.

Como dois vetores são iguais se e somente se as suas coordenadas são iguais, da igualdade vetorial anterior obtemos as seguintes igualdades:

4 = a
2 = 2a + b
- 6 = a - b
Este sistema de três equações com 2 incógnitas não tem solução pois a terceira equação é incompatível com as outras duas. (Observe que da primeira equação obtemos a = 4. Substituindo este valor na segunda, obtemos b = -6. Substituindo-se, agora, estes valores na terceira equação obtemos a igualdade - 6 = 4 + 6, que é falsa.) Neste caso, o vetor z não pode ser escrito como combinação linear dos outros dois vetores dados.

Exercício 1

(a) Como o objeto se move em linha reta, em todos os casos trata-se de determinar a equação da reta que passa pelos dois pontos dados. Assim, temos:

(1) 5y = 3x + 22

(2) y = -x + 18

(3) 3y = -2x -1

(b) As equações paramétricas são dadas por:

(1)

x = -4 + 10/3 t
y = 2 + 2 t

(2)

x = -4 + 10/7 t
y = 22 -10/7 t

(3)

x = -5 + 3/2 t
y = 3 -t

Nos três casos, como o movimento começa quando t = 0, as equações são válidas para, t ³0, que é o domínio das equações dadas.

(c) Eliminando-se o parâmetro t, podemos recuperar a equação cartesiana a partir das equações paramétricas. Assim, temos:

(1) [Maple Math] que é equivalente a [Maple Math] e daí, obtemos como no item (a) [Maple Math] .

(2) [Maple Math] que é equivalente a [Maple Math] e daí, obtemos como no item (a) [Maple Math]

(3) [Maple Math] que é equivalente a [Maple Math] e daí, como no item (a), obtemos [Maple Math]

(d) Para calcular as coordenadas do objeto para t = 2s, basta substituir este valor de t nas equações paramétricas obtidas no item (b). Assim, temos:

(1) ( [Maple Math] )

(2) ( [Maple Math] )

(3) ( [Maple Math] )

(e) Para determinar o instante em que o objeto intercepta a reta y = 20, basta substituir este valor de y na equação paramétrica correspondente e calcular o respectivo valor de t. Assim, temos:

    (1) t = 9s

    (2) t = 1,4s

    (3) t = -17s. Como o movimento começa no instante em que t = 0, neste caso, o objeto não intercepta a reta y = 20 durante este movimento.

Exercício 2

(a) 4 y + 3 x - 6 = 0, cujo domínio é dado por -2 £ x £ 2 e a imagem por 0 £ y £3.

(b) x = -2 + 4 t e y = 3 - 3t, cujo domínio é dado por 0 £ t £1 e a imagem por -2 £ x £ 2 e 0 £ y £3.

Exercício 3

As equações paramétricas serão dadas por

[Maple Math]

[Maple Math]

para 0 £ t £ 10. Em [Maple Math] segundos, o objeto estará no ponto de coordenadas ( [Maple Math] ).

Exercício 4



(a) v = <2, 2 > e w = <1, -1 >. Os vetores v + w e v - w são as duas diagonais do paralelogramo cujos lados são formados pelos vetores v e w, conforme ilustra a figura ao lado.

Exercício 4

(b) O vetor 2v.

Exercício 5

(a) u + v = < -2, 3, 1>.
(b) u + v + w = < 0, 0, 0 >.
(c) 2u + 2v - w = < -6, 9, 3 >.

Exercício 6

Exercício 7

Problema 1

(a) O vetor nulo.

(b) O vetor das 10 horas.

(b) A metade do vetor das 7 horas.

Problema 2

Existem duas possibilidades para o quarto vértice, a saber, os pontos de coordenadas (4, 0) e (4, 4), como ilustra as figuras abaixo.

Problema 3

O vetor diretor da reta L1 é v1= < 6, 9, 12 >. O vetor diretor da reta L2 é v1= < 4, 6, 8 >. Dessa maneira, como v1 e v2 têm a mesma direção pois v2 = 3/2 v1, as retas são paralelas.

Problema 4

(a) O vetor diretor da reta é < 2, 3, -7 >. A equação da reta na forma simétrica é x/2 = (y - 2)/3 = - (z + 1)/7.
(b) Interseção com o plano xy: (-2/7, 11/7, 0); interseção com o plano yz: (0, 2, -1); interseção com o plano xz: (-4/3, 0, 11/3).

Problema 5

(a) Vetores diretores das retas: v1 = < 1, 1, -5 >, v2 = < 1, 1, -1 >, v3 = < 1, 1, -1 >, v4 = < 2, 2, -10 >. Dessa maneira as retas L1e L4 pois seus vetores diretores têm a mesma direção. Da mesma formas as retas L2 e L3 também são paralelas.
(b) Na realidade as retas L1e L4 são coincidentes. Para chegar a esta conclusão, repare que os pontos A1(1, 0, 2) e A4(2, 1, -3) que pertencem, respectivamente, às retas L1 e L4, determinam o vetor AB = < 1, 1, -5 >. Dessa maneira, as retas L1 e L4 coincidem, pois os dois pontos A e B estão sobre uma mesma reta cujo vetor diretor é igual ao vetor diretor de L1 e L4.

Eliminando o parâmetro

A equação cartesiana é [Maple Math] que é a equação de uma parábola.

Identificando retas

(a) As retas são reversas.

(a) As retas são paralelas.

(a) As retas são concorrentes. Ponto de interseção (2, 1, 3)

Viajando pelo espaço

(a) Equações paramétricas: x = 9,96t e y = 4,98t + 14,7 ´ 107

(b) 75,67 ´ 107 horas