Respostas do Capítulo Retas: Uma Curva muito Especial



Declividade

1a) [Maple Math]

Declividade

1b) [Maple Math]

Declividade

2) A reta do quadro à esquerda tem declividade igual a [Maple Math] . A reta do quadro à direita tem declividade igual a 1. Nas figuras apresentadas, elas parecem ter a mesma inclinação porque as escalas usadas no traçado de cada gráfoico é diferente. Repare que nos dois gráficos a escala usada para graduar o eixo x foi a mesma, mas para graduar o eixo y foram usadas escalas diferentes: uma unidade usada no segundo gráfico é 8 vezes menor do que aquela usada no primeiro gráfico. Repare que, no primeiro gráfico, a graduação do eixo y vai de 0 a 1 e, no segundo, de 1 a 8.

Verificando o que você aprendeu

(a) A reta passa pela origem.

(b) A reta é crescente, isto é, à medida em que x cresce os valores de y também crescem. Em outras palavras, a reta ascende para à direita.

(c) A reta é decrescente, isto é, à medida em que x cresce os valores de y decrescem. Em outras palavras, a reta descende para à direita.

(d) A reta é horizontal, isto é, paralela ao eixo x .

Variação de m

A reta [Maple Math] passa pela origem e m é a sua declividade. Quando m varia, o ângulo que a reta faz com o eixo x também varia e a reta, no caso deste exemplo, gira em torno da origem. Repare que quanto maior é o valor absoluto de m , mais inclinada é a reta.

Variação de b

O ponto (0, b ) é o ponto onde a reta intercepta o eixo y . Assim quando b varia, a reta sofre uma translação na direção vertical, para cima ou para baixo dependendo do sinal de b .

Característica Geométrica

Quando b varia, as retas [Maple Math] têm todas a mesma declividade e interceptam o eixo y em pontos diferentes (porque [Maple Math] é diferente em cada caso), isto é, elas formam uma família de retas paralelas.

Respostas dos Exercícios

Exercício 1

(a) Pelas condições dadas, podemos deduzir que a reta [Maple Math] passa pelo ponto (4,0). (Veja que, só neste caso, y > 0, quando x > 4 e y < 0 quando x < 4.) Como o ponto (4,0) pertence à reta, quando x = 4, y = 0. Substituindo estes valores na equação [Maple Math] obtemos [Maple Math] e, daí, b = 8.

(b) São paralelas.

(c) (i) 1 (ii) [Maple Math]

Observação para quem sabe um pouco de trigonometria: Como a declividade da reta é a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x , temos que a reta do item (i) faz um angulo de 45 graus com o eixo x ( [Maple Math] ) e a segunda, um ângulo de 60 graus ( [Maple Math] ).

Exercício 2

(a) Para a reta ser paralela ao eixo x temos que ter [Maple Math] e a sua equação será do tipo [Maple Math] . Neste caso o coeficiente de x na equação dada deverá ser zero. Assim, temos que [Maple Math] , donde k = 3.

(b) Para a reta ser paralela ao eixo y (vertical) a sua equação deverá ser do tipo [Maple Math] . Neste caso o coeficiente de y na equação dada deverá ser igual a zero. Assim, temos [Maple Math] e daí [Maple Math] e [Maple Math] .

(c) Para que a reta passe pela origem, sua equação deverá ser do tipo [Maple Math] . Neste caso o termo independente deverá ser igual a zero. Assim ,temos que [Maple Math] e daí k = 1 e k = 6.

Exercício 3

(a) [Maple Math]

(b) [Maple Math]

(c) [Maple Math]

(d) [Maple Math]

(e) [Maple Math]

(f) [Maple Math]

(g) [Maple Math]

(h) [Maple Math]

Exercício 4

(a) As retas têm declividades m1 = 2 e [Maple Math] , respectivamente. Como as suas declividades são diferentes, as retas são concorrentes. O ponto de intrerseção destas retas é a solução (única) do sistema de equações [Maple Math] e [Maple Math] . Resolvendo este sistema encontramos x = 1 e [Maple Math] . Assim, o ponto de interseção das retas é (1, - 2).

(b) (i) Se [Maple Math] as duas retas são verticais e passam pelos pontos (0, - C / A ) e (0, - C '/ A ). Assim, se C ' ¹ C as retas são paralelas e se C ' = C as retas coincidem. Se A = 0, as duas retas são horizontais e passam pelos pontos (0, - C / B ) e (0, - C '/ B ). Assim, se C ' ¹ C as retas são paralelas e se C ' = C as retas coincidem. Se B e A são ambos distintos de zero, temos que as retas têm declividades iguais a [Maple Math] e, portanto, são paralelas. Neste caso, se C ' = C as retas serão coincidentes.

(ii) As retas têm declividades [Maple Math] e [Maple Math] , respectivamente. Como [Maple Math] , as retas são perpendiculares.

Exercício 5

(a) Seja A = (-2,9), B = (4,6), C = (1,0) e D = (-5,3). Temos que [Maple Math] = [Maple Math] . Do mesmo modo, [Maple Math] = [Maple Math] , [Maple Math] = [Maple Math] e [Maple Math] = [Maple Math] .

Assim, o polígono cujos vértices são os pontos ABCD tem lados congruentes. Para provar que este polígono é um quadrado precisamos mostrar que os lados opostos são paralelos e que os ângulos internos são retos. A reta que passa pelos pontos A e B tem declividade [Maple Math] e a reta que passa por A e D tem declividade 2. Desse modo, o ângulo A é reto. Da mesma maneira, a reta que passa por B e C tem declividade 2 e a que passa por C e D tem declividade [Maple Math] . Assim, os ângulos C, B e D também são retos. Repare ainda que as retas que passam por A e D e por B e C são paralelas, como também as retas que passam por A e B e por D e C. Assim, o polígono cujos vértices são os pontos ABCD é um quadrado. Vejo o esboço deste quadrado na figura abaixo.

[Maple Plot]

(b) Primeiramente repare que qualquer triângulo pode ser colocado na posição indicada na figura, isto é com um dos vértices coincidindo com a origem e um dos lados coincidindo com o eixo x . Como os pontos A e B são pontos médios dos lados do triângulo dado, suas coordenadas são ( [Maple Math] ) e ( [Maple Math] ), respectivamente. A reta que passa por estes pontos é horizontal e, portanto paralela ao terceiro lado. Seja O = (0,0), C = ( a , 0) e D = ( b , c ). Os triângulos ODC e ADB são semelhantes. Assim, [Maple Math] . Mas, como A é ponto médio de OD temos que [Maple Math] e, portanto [Maple Math] .

Problema 1

A reta [Maple Math] passa pelos pontos (0,1) e (1,0). Como o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, o triângulo formado pelos eixos coordenados e a reta incidente é semelhante ao triângulo formado pela reta refletida, o eixo x e a reta vertical x = 2. Veja o desenho ao lado.

[Maple Plot]

Assim, a reta refletida é aquela que passa pelos pontos (1,0) e (2,1) cuja equação é [Maple Math] .

Problema 2

(a) A equação da reta que passa pelos pontos ( a ,0) e (0, b ) é [Maple Math] ou equivalentemente [Maple Math] . Dividindo esta equação por ab , obtemos [Maple Math] , como queríamos demonstrar.

(b) A reta [Maple Math] passa pelos pontos (3/2,0) e (0,3). Usando a equação deduzida no item (a) com a = 3/2 e b = 3, obtemos a equação [Maple Math] , que é a equação pedida.

Problema 3

(a) Sabemos que a reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Assim, encontrar a tangente a uma circunferência num ponto dado equivale a encontrar a reta perpendicular à reta suporte do raio que passa pelo ponto de tangência.

No problema dado temos que a equação da reta que passa por (0,0) e (3,4) é [Maple Math] . Esta é a reta suporte do raio que passa pelo ponto (3,4). A tangente é a perpendicular a esta reta que passa por (3,4). Assim, a equação da tangente procurada é [Maple Math] . Veja a figura ao lado.

[Maple Plot]

(b) Veja a solução deste problema na página indicada.

Gráficos de Desigualdades - Respostas



Exercício 1

(a) Reta vertical que passa pelo ponto (4,0).

[Maple Plot]


(b) Reta horizontal que pasa pelo ponto (0, - 3).

[Maple Plot]


(c) [Maple Math] se e somente se [Maple Math] (eixo y ) ou [Maple Math] (eixo x ). Assim, o gráfico pedido é formado pela união do eixo x com o eixo y .

[Maple Plot]


(d) Região do plano entre as retas verticais x = 2 e x = - 2 e acima da reta horizontal y = 1 ou abaixo da reta horizontal y = - 1. Veja os gráficos abaixo. A região pedida é a união destas duas regiões.

[Maple Plot]

[Maple Plot]

(e) Região formada pelo segundo e quarto quadrantes (para que o produto seja negativo, os números devem ter sinais contrários).

(f) Região do plano entre as retas horizontais y = - 2 e y =2 (estas retas estão incluídas na região pedida) e, ou à direita da reta vertical x = 1, ou à esquerda da reta vertical x = - 1. Veja os gráficos abaixo: a região pedida é a união destas duas regiões.

[Maple Plot]

[Maple Plot]

(g) O conjunto dos pontos equidistantes de A= (0,1) e B = (1,0) é a mediatriz do segmento de reta AB. A reta suporte do segmento AB tem equação [Maple Math] .

A mediatriz do segmento AB é a reta que passa pelo seu ponto médio (ponto cujas coordenadas são ( [Maple Math] )) e é perpendicular à reta [Maple Math] . Logo, a equação da mediatriz é [Maple Math] . Veja seu gráfico ao lado.

[Maple Plot]

Exercício 2

(a) {( x , y ) Î Â ; y < x e y > 0 }

Exercício 2

(b) {( x , y ) Î Â ; y =1 }

Exercício 2

(c) {( x , y ) Î Â ; 1 < x < 3 }

Exercício 2

(d) {( x , y ) Î Â ; x = 1 }

Exercício 2

(e) {( x , y ) Î Â ; - 1< x < 1 e - 1 < y < 1 }

Exercício 2

(f) {( x , y ) Î Â ; x > 2 e y ³ 1 }

Exercício 2

(g) {( x , y ) Î Â ; [Maple Math] e [Maple Math] }

Exercício 2

(h) {( x , y ) Î Â ; y > - x - 2 e y > 2 x - 4 e y < x }

Exercício 3

(a)

[Maple Plot]

(b)

[Maple Plot]

Exercício 4


No esboço ao lado, a região azul é a região pedida. As retas vermelhas, sua fronteira, fazem parte da região e são determinadas pelas equações x = 0, 3x + 3y = 3, x + 3y = 1,5, 8x + 2y = 4 e y = 0
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[Maple Plot]

Modelando e Resolvendo Problemas Reais - Respostas



Problema 1

(a) V = 3187,5 t + 42000 , assim as constantes m e b valem respectivamente 3187,5 e 42000.

(b) Aproxidamente, após 9 anos da sua aquisição.

(c) 3187,5 t + 42000 = 70900. Resolvendo esta equação temos que t = 10 anos, aproximadamente. Este valor significa que, aproximadamente, após 10 anos da aquisição, o apartamento estará valendo R$74000,00.

Problema 2

(a) [Maple Math]

(b) Aproximadamente, 7268 milhões de habitantes.

Problema 3

(a) Se a velocidade é constante, a distância percorrida s é dada pela equação [Maple Math] , onde t é o tempo percorrido. Como o automóvel percorreu uma distância de 150 km em 2 horas, desenvolveu uma velocidade de 75 km/h. Assim, [Maple Math] onde s é a distância percorrida pelo automóvel (em km) e t é o tempo transcorrido (em horas).

(b) O gráfico da equação encontrada no item (a) é a reta traçada no desenho ao lado.

[Maple Plot]

(c) A declividade desta reta é 75. Este valor é a razão entre a distância percorrida e o tempo trancorrido e, portanto, representa a velocidade (constante) desenvolvida pelo automóvel durante este trecho do percurso.