Respostas - Gráficos de Funções



Gráficos de Funções

(a) Se o ponto (x,y) pertence ao gráfico de uma curva que é simétrica em relação ao eixo x, o ponto (x,-y), também pertence a esta curva (veja: Transformações no Plano). Assim, uma reta vertical que corte esta curva num ponto (x0,y0), também passará pelo ponto (x0,-y0) e, portanto, esta curva não será gráfico de nenhuma função.

(b) Sim, já vimos vários exemplos de gráficos de funções que são simétricos em relação ao eixo y, por exemplo f(x) = x2.

(c) O gráfico de uma função é o conjunto de pontos do plano da forma (x,f(x)), isto é, o conjunto de pontos (x,y) do plano, onde y = f(x). Nos pontos onde o gráfico de uma função corta o eixo x, temos que y = 0. Assim, estes pontos são as raízes reais da equação f(x) = 0 e, usualmente, são chamados de zeros da função f.

Funções Contínuas

Suponhamos que a função seja definida em dois "pedaços" da seguinte maneira f(x) = p(x) para valores de x menores ou iguais a um número b e f(x) = h(x) para valores de x maiores que b. Se p(b) = h(b) a função será contínua. Este mesmo raciocínio vale para uma função definida em mais do que dois "pedaços". Se a função não estiver definida no ponto b ou se os valores de p(b) e h(b) forem diferentes a função será descontínua no ponto x = b.

Exercício 2

(a) f(8) = 5

(b) f(-1) = 1

(c) [-1,8]

(d) [1,5]

(e) a = 6

Exercício 3

(a) g(3) = -1

(b) g(-2) = 3

(c) [-2,7]

(d) [-1,7]

(e) Porque existe um outro ponto b, entre 6 e 7, tal que g(b) = -2.

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

(a) Não. Esta é a equação de ma circunferência de centro (0,0) e raio 1 que não pode ser gráfico de função pois retas verticais cortam a circunferência em mais de um ponto.

(b)

O domínio das duas funções é o intervalo fechado [-1,1]. A imagem de f1 é o intervalo fechado [0,1] e a imagem de f2 é o intervalo fechado [0,-1].

(c) Os gráficos destas funções são mostrados abaixo.


Exercício 7

Resolvendo a equação x = 2 x - 1.

Exercício 8

Resolvendo a equação 2 (x - 1) 2 = x.


Assíntotas

(a) Domínio:Â - { 0,88 }

(b) Assíntota vertical: reta x = 0,88.
    Assíntota horizontal: reta y = 1.

(c) Assíntota vertical: reta x = a.
    A assíntota horizontal não se altera: continua sendo a reta y = 1.

(d) Para a positivo, quando x se aproxima de a, pela direita, os valores da função crescem sem limite, isto é tendem a [Maple Math] e quando x se aproxima de a pela esquerda, os valores da função decrescem sem limite, isto é, tendem a [Maple Math] . Em linguagem matemática podemos exprimir este comportamento escrevendo [Maple Math] e [Maple Math] .

(e) Da mesma maneira, para a negativo, temos que [Maple Math] e [Maple Math] .

(f) Quando x cresce em valor absoluto, os valores da função se aproximam cada vez mais de 1 e o gráfico da função se aproxima, cada vez mais, da assíntota horizontal, isto é, da reta y = 1.

Funções Crescentes e Decrescentes

A função y = x3 é crescente em todo o seu domínio. Já a função y = - x3 é decrescente em todo o seu domínio. A função y = x2 é crescente para valores positivos de x e é decrescente para valores negativos. A função y = m x + b é crecente em toda a reta sempre que m for positivo e é decrescente sempre que m for negativo.

Funções Pares e Ímpares

(a) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.

(b) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

(c) A soma de funções pares é uma função par.

(d) A soma de funções ímpares é uma função ímpar.

(e) O produto de funções pares é uma função par.

(f) O produto de um número par de funções ímpares é uma função par. O produto de um número ímpar de funções ímpares é ímpar.

(g) O produto de uma função ímpar por uma função par é uma função ímpar.

Máximos e Mínimos

(I) (a) Máximos locais: ( - 1,4) e (5,5)

        Mínimo local: (2,2)

(II) (a) Máximo local: (5,7)

        Mínimo local: (1,2)

(III) (a) Máximo local: (1,5)

        Mínimo local: (5,1)

(IV) (a) Máximo local : (5,4)

        Mínimos locais: (3,1) e (-1,1)

Contas a Pagar - CEDAE

(a) R$ 27,24. Repare que este valor é obtido fazendo a cobrança por faixa de consumo, isto é, o consumidor que gastou 38 [Maple Math] de água tem o seu consumo divido em três faixas. Ele pagará 0.353(15) + 0.696 (10) + (1.153) 13.

(b) A CEDAE cobrou um excedente de R$ 10,44. Este excedente se refere a cobrança da taxa de esgoto.

(c) R$ 10,44. Veja item anterior.

(d) Seja P o valor cobrado e x a quantidade de água consumida (em [Maple Math] ). Então

[Maple Math] ou

[Maple Math]

[Maple Plot]

Comentários:

Ao resolver o item (a) deste problema, provavelmente, o primeiro impulso que você teve foi calcular o preço cobrado pela CEDAE multiplicando o consumo (38 [Maple Math] ) pelo valor do índice correspondente à terceira faixa (1.153), o que resultou num valor maior do que o cobrada pela CEDAE. Neste caso, a função que modelaria o problema seria: [Maple Math] , cujo gráfico traçamos ao lado.

Funções deste tipo, que apresentam saltos, não são adequadas e nem devem ser usadas para cobranças, pois provocariam injustiças. Repare que a um pequeno aumento no consumo, por exemplo de 15 para 16 [Maple Math] de água, corresponderia um salto de amplitude igual a 5.145 no preço cobrado, o que também poderia estimular muitas fraudes. Este valor (5.145) deve ser deduzido do valor cobrado dos consumidores da segunda faixa para que a função cobrança seja contínua, isto é, não dê saltos. Observe a animação abaixo.

[Maple Plot]

Este é o mesmo raciocínio empregado para calcular o preço cobrado da outra faixa.

Contas a Pagar - Imposto de Renda

(e) Como vimos no caso da cobrança feita pela CEDAE, uma função para cobrar taxas, ou qualquer outra coisa, não pode apresentar saltos. A parcela a deduzir na tabela do cálculo do imposto de renda representa o quanto se deve abater dos consumidores de cada faixa para que a função de cobrança seja uma fnção contínua. Veja o comentário final no caso do problema da cobrança feita pela CEDAE.

(f) [Maple Math]

(g) Parcela a deduzir da primeira faixa: R$ 32862,80