Respostas - Função Afim



O Problema da Corrida de Táxi



x P
0 2,5
1 4
2 5,5
3,5 7,75
4 8,5
n 2,5 + 1,5 n


(a) Domínio: [0, [Maple Math] )

(b) Imagem: [2,5 , [Maple Math] )

Ainda o Problema da Corrida de Táxi

(a) O coeficiente linear representa o preço da bandeirada e a declividade a taxa adicional a ser paga por quilômetro rodado.

(b) P( x ) = 2,5 + (1,5. 1.2) x = 2,5 + 1,8 x

(c) A declividade da reta.

(d) O gráfico vermelho.

(e) Para responder a estas perguntas, basta resolver às equações:

(i) Corrida comum: 10 = 2,5 + 1,5 x

(ii) Corrida com bandeira dois: 10 = 2,5 + 1,8 x

No caso (i) a solução é x = 5. Isto significa que posso rodar 5 km, com R$ 10,00. No caso (ii), x = 4, 16666, ou seja, poderei rodar cerca de 4 km e 200 metros, com os mesmos R$ 10,00.

(f) P( x ) = 2,75 + 1.5 x

(g) O coeficiente linear da reta que representa a função P.

(h) O gráfico verde.

Coeficientes da Reta

(a) A função f é crescente. O seu gráfico é uma reta que ascende da esquerda para a direita.

(b) A função f é decrescente. O seu gráfico é uma reta que descende da esquerda para a direita.

(c) Não, porque a função é decrescente, isto significa que a corrida de táxi ficaria cada vez mais barata à medida em que o número de quilômetros rodados aumentasse!! Neste caso, um valor negativo para a corrida significaria que o motorista teria que pagar ao passageiro pela corrida!!!

O Problema das Tintas

(a) (0, 0)

(b) [Maple Math]

(c) A declividade representa a taxa ou razão fixa que os componentes da mistura devem manter entre si.

Viagem de Automóvel

[Maple Math]

(a) O consumo de gasolina é diretamente proporcional ao número de quilômetros rodados.

(b) Taxa de variação da distância percorrida em relação ao consumo de gasolina. Como a distância é dada em quilômetros e o consumo em litros, esta taxa é dada em km/l.

(c) D(c) = 12 c

(d) [Maple Math] e esta razão é dada pela declividade da reta representada pela equação encontrada no item (c).

(e) O gráfico da equação encontrada em (c) é uma reta que passa por (0, 0) e cuja declividade é 12. Esta declividade representa, fisicamente, a razão [Maple Math] .

Taxa de Variação Média

(a) No intervalo [0,1] temos que a taxa de variação média de f é dada por [Maple Math] = 50 . No intervalo [1,2], temos que esta mesma taxa é dada por [Maple Math] = 60.

(b) A velocidade do automóvel está aumentando com o tempo.

(c) 55 km/h. Como a declividade da reta é constante e esta declividade representa a velocidade do automóvel, esta velocidade não varia neste intervalo.

Declividade de Curvas

(a) - 4

(b) y = - 4 x - 4

Caminho para a Escola

O gráfico que representa a distância percorrida por Bruno é o A e o de Solange é o B. Bruno vai à escola de bicicleta por isso sua velocidade (declividade da reta) é maior do que a de Solange: ele sai de casa a mesma hora que a menina, para no meio do caminho e chega primeiro à escola. Já Solange vai a pé mantendo durante o percurso uma velocidade constante. O gráfico de Miguel é o C: ele sai atrasado de casa (8h e 15 min) e sua velocidade varia pelo caminho.

Maratonista

Grupo I - letra (b); Grupo II - letra (a)

O Passeio de Ana

Ana faz dois percursos de ida e de volta de sua casa até um determinado ponto da rua. Durante os dois percursos de ida e de volta mantém a mesma velocidade constante.

Criação de Coelhos

(a) Durante 42 dias, aproximadamente.

(b) 2100 coelhos, aproximadamente.

(c) Por volta do quadragésimo segundo dia da criação, aproximadamente.

(d) Sim, em vários momentos. Para entender esta questão, observe que existem várias retas horizontais que cortam o gráfico da curva em dois pontos. Isto indica que em dois instantes distintos a criação teve o mesmo número de coelhos.

(e) A tendência desta população é estabilizar em cerca de 250 coelhos.

Valor Absoluto (1)

(a)
[Maple Math] [Maple Math]

-1

[Maple Math]

1

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

6

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

2

[Maple Math] [Maple Math]

(b) Repare que os pontos que estão a igual distância de x = 2, têm a mesma imagem. Esta propriedade se reflete na forma do gráfico desta função por simetria: este gráfico é simétrico em relação a reta x = 2.

Valor Absoluto (2)



(a) [Maple Math]

[Maple Plot]

(b) [Maple Math]

[Maple Plot]

(c) [Maple Math]

[Maple Plot]

(d) [Maple Math]

[Maple Plot]

Valor Absoluto (3)



(a) O vértice é o ponto (4, 0). O eixo de simetria é a reta x = 4 e a imagem da função é o intervalo [0, [Maple Math] ). Veja o gráfico desta função traçado ao lado.

[Maple Plot]

(b) O vértice é o ponto (0, - 4). O eixo de simetria é a reta x = 0 e a imagem da função é o intervalo [ -4, [Maple Math] ). Veja o gráfico desta função traçado ao lado.

[Maple Plot]

(c) O vértice é o ponto ( - 5, 1). O eixo de simetria é a reta x = -5 e a imagem da função é o intervalo [1, [Maple Math] ). Veja o gráfico desta função traçado ao lado.

[Maple Plot]

(d) O vértice é o ponto (6, 3). O eixo de simetria é a reta x = 6 e a imagem da função é o intervalo ( [Maple Math] , 3]. Veja o gráfico desta função traçado ao lado.

[Maple Plot]

Valor Absoluto (4)

(a) - a e a

(b) O vértice é o ponto ( h , k )

(c) Se a > 0, o gráfico abre para cima. Se a < 0, para baixo.

Valor Absoluto (5)

(a) A partir de duas translações: uma na direção horizontal, 2 unidades para a direita e a outra na direção vertical, cinco unidades para cima.

(b) A partir de uma dilatação na direção vertical com fator de escala igual a 2, seguida de uma translação na direção horizontal, 5 unidades para a esquerda e de uma translação na direção vertical, duas unidades para cima.

(c) A partir de uma reflexão em relação ao eixo x , seguida de uma translação na direção horizontal, 2 unidades para a esquerda e de uma translação vertical, 5 unidades para baixo.

(d) A partir de uma compressão na direção vertical com fator de escala igual a 0,5, seguida de uma reflexão em relação ao eixo x e de duas translações: uma na direção horizontal, 6 unidades para a esquerda e outra na direção vertical, 3 unidades para baixo.

Resolvendo Equações que envolvem valor absoluto

(a)

Solução Analítica :

Se x > 2, então [Maple Math] . Neste caso, a equação dada se reduz a [Maple Math] , cuja solução é x = 7. Esta solução satisfaz a restrição x > 2. Se x < 2, temos que [Maple Math] . Neste caso a equação dada se reduz a [Maple Math] , cuja solução é [Maple Math] . Esta solução satisfaz a restrição x < 2. Assim, o conjunto solução da equação dada é { - 11, 7}

Solução Gráfica :

O gráfico da função [Maple Math] é mostrado abaixo. A solução da equação [Maple Math] são os pontos onde esta curva corta o eixo x. Como pode ser visto no gráfico, estes pontos são - 11 e 7.

[Maple Plot]

(b)

Solução Analítica :

Se 2 t - 1 > 0 , então [Maple Math] . Neste caso, para t a equação dada se reduz a [Maple Math] , cuja solução é t = 3. Esta solução satisfaz a restrição t > [Maple Math] . Se t < [Maple Math] , temos que 2 t - 1 < 0 e, neste caso, a equação dada se reduz a [Maple Math] , cuja solução é [Maple Math] . Esta solução satisfaz a restrição t < [Maple Math] . Asssim, o conjunto solução da equação dada é { -2 , 3}

Solução Gráfica :

O gráfico da função [Maple Math] é mostrado abaixo. A solução da equação [Maple Math] são os pontos onde esta curva corta o eixo x . Como pode ser visto no gráfico, estes pontos são - 2 e 3.

[Maple Plot]

(c)

Solução Analítica :

A desigualdade [Maple Math] < 0,1 é equivalente a - 0,1 < x - 7 < 0,1 . Daí, temos que 6,9 < x < 7,1.

Solução Gráfica :

A figura ao lado mostra o gráfico da função [Maple Math] . A solução da desigualdade é o intervalo aberto assinalado.

[Maple Plot]

(d)

Solução Analítica :

A desigualdade [Maple Math] < 12 é equivalente a - 12 £ 5 z + 100 £ 12 . Daí, temos que [Maple Math] £ z £ [Maple Math] .

Solução Gráfica :

A figura ao lado mostra o gráfico da função [Maple Math] . A solução da desigualdade é o intervalo fechado assinalado.

[Maple Plot]

Soluções de Equações envolvendo Valor Absoluto

As soluções da equação [Maple Math] são os pontos onde o gráfico da função [Maple Math] corta o eixo x . Como este gráfico tem a forma de um V, esta equação pode ter uma, duas ou nenhuma solução. Os gráficos a seguir ilustram estes casos.

[Maple Plot]

[Maple Plot]

[Maple Plot]

[Maple Plot]

[Maple Plot]

[Maple Plot]

Competições de Atletismo

O erro cometido pode ser expresso pela seguinte função de t: [Maple Math]

Fabricação de Latas

(a) [Maple Math]

(b) Para o erro no volume padrão ser menor do que 10 ml, é necessário que o raio varie no intervalo [3,28 , 4,73]. Para chegar a este resultado basta resolver a inequação [Maple Math]

Planos de Pagamento: A Melhor Escolha

(a) Pelo plano Laranja, por 45 horas de acesso, o usuário pagará: 17,95 + 0,73 . 45 = 50,80. No plano Verde, a taxa será de 27,95 + 30 . 0,53 = 43,85. Nos planos Azul e Vermelho, o tempo está incluído na assinatura mensal pois nestes planos existe uma franquia de 60 e 150 horas, respectivamente. Assim, para 45 horas de acesso, o usuário no plano azul pagará R$ 49,95 e no vermelho, R$ 75,95. Logo, para este tempo de acesso, o plano mais econômico é o plano verde.

(b) Seja P a tarifa paga pelo usuário e t o número de horas de acesso. Então, a função P(t) é determinada, em cada caso, como se segue.

No plano Laranja:

P(t) = 17,95 +0,73t

No plano Verde:

[Maple Math]

No plano Azul:

[Maple Math]

No plano Vermelho:

[Maple Math]

(c) Os gráficos destas funções estão esboçados abaixo. As cores correspondem ao nome de cada plano.

[Maple Plot]

(d) Considerando número inteiro de horas, até 13 horas de acesso o plano laranja é mais econômico. A partir de 14 e até 56 horas de acesso, o plano verde é o mais econômico. De 57 até 134 horas de acesso, o plano azul é o mais econômico. A partir de 134 horas de acesso o plano vermelho é o mais econômico. Estes valores são obtidos calculando-se os pontos de interseção das retas mostradas no gráfico.

Exercício 1

Item (a). A equação da reta é dada por [Maple Math] .

Exercício 2

(a) Taxa de variação: 1; Equação [Maple Math]


(b) Taxa de variação: - 1; Equação: [Maple Math]


(c) Taxa de variação: 0; Equação: y = 2


(d) Taxa de variação: - 1; Equação: [Maple Math]

Exercício 3

(a) Se f é crescente em [ a , b ] temos que f( b ) > f( a ). A declividade da reta secante, que é dada por [Maple Math] , é portanto, positiva.

(b) A taxa de variação média é dada pela declividade da reta secante que, como já vimos no item anterior, é positiva.

(c) Não. Considere a função [Maple Math] em [ - 1,2]. A taxa de variação média desta função no intervalo considerado, é igual a 1, mas f não é crescente neste intervalo.

Exercício 4

(a) [Maple Math]


(b) [Maple Math]


(c) [Maple Math]

Problema 1

(a) A = - 550 (t - 20)

(b) - 550 m/s . Esta taxa é dada pela declividade da reta calculada no item (a). Fisicamente, esta taxa representa a velocidade com que o avião desce. O sinal negativo significa que o avião está descendo, isto é, à medida em que o tempo passa (aumenta), a altitude do avião diminui.

(c) [Maple Math]

Problema 2

(a) [Maple Math]

(b) Pelos coeficientes de t. Este coeficiente expressa a velocidade de descida de cada avião. Como o coeficiente de t, na segunda equação é o menor dos dois, podemos concluir que o avião menor desce mais devagar.

(c) A declividade das retas expressa a velocidade de descida dos aviões. Declividades negativas significam que o avião está descendo e vice-versa. Assim, a reta mais inclinada indica o avião que desce mais rápido e vice-versa.

[Maple Plot]

Problema 3

(a) Não, a partir de um determinado instante a distância ao posto começa a diminuir.

(b) 1 km.

(c) 2 vezes.

(d) 5200 m.

(e) No trecho final do percurso.

(f) Não.

(g) O ciclista começou devagar e foi aumentando, gradativamente, a sua velocidade.Quando o ciclista estava a uma distância de, aproximadamente, 3 km do posto, esta velocidade começa a diminuir até que pára, quando chega a 5200m do posto. A partir daí pedala em sentido contrário (a distância ao posto começa a diminuir), aumentando a velocidade progressivamente.

Problema 4

(a) 60 m/s.

(b) 2 segundos.

(c) 6,6 segundos após a partida. A sua velocidade neste momento era nula.

(d) 10 segundos. Neste momento o foguete estava caindo a uma velocidade de 26 m/s.

Problema 5

[Maple Math] = [Maple Math] , pois [Maple Math] .

De maneira análoga, temos que [Maple Math] e [Maple Math] .

Dessa maneira, temos que [Maple Math] = [Maple Math] .

Problema 6

(a) Seja f(x) = m x. Então, temos que: f(c x + dy) = m (cx + dy) = mc x + m dy = c f(x) + d f(y), o que prova que f é linear.

Seja f(x) = mx + b. Então, temos que: f(cx + dy) = m (cx + dy) + [Maple Math] = f(cx) + f(dy). Dessa maneira, a propriedade de linearidade não vale para estas funções.

(b) Seja f uma função linear. Como 0 = 0 + 0, temos que f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0), pois f é linear. Da igualdade f(0) = f(0) + f(0) temos que 2 f(0) - f(0) = 0 e, daí, f(0) = 0 .