Respostas - Movimento Retilíneo e Uniforme: Equações Paramétricas



O Problema do Controlador de vôo



(a) De acordo com os dados do problema, os aviões seguem uma trajetória retilínea. Dessa maneira, para encontrar a equação cartesiana da trajetória seguida pelo avião A, basta achar a equação da reta que passa pelos pontos (-12,-30) e (-7,-22). Esta equação é [Maple Math] .

(b) A posição da torre de controle é dada pelo ponto (0,0). Este ponto deve pertencer a reta que descreve a rota seguida pelo avião, caso o avião passe diretamente sobre a torre. De acordo com a equação, deduzida no item (a), quando x = 0, a ordenada y da posição do avião será dada por [Maple Math] = [Maple Math] , isto é, o avião passa sobre o ponto (0;-10,8). Desse modo, o avião A não passa sobre a torre de controle: ele passa sobre um ponto a 10,8 km diretamente ao sul da torre de controle.

(c) Veja ao lado o gráfico da reta que descreve a rota seguida pelo avião A.

[Maple Plot]

A imagem do avião aparece na tela do radar no ponto de coordenadas (-30,-12) e desaparece no ponto de coordenadas (25,5;30). Esta observação pode ser confirmada algebricamente, calculando-se na equação [Maple Math] o valor de x , quando y = 30.

(d) Não. A equação deduzida no item (a) não permite relacionar a posição do avião com o tempo transcorrido.

(e) Pelos dados da tabela e levando em consideração que o avião se desloca sobre a reta [Maple Math] com velocidade constante, podemos deduzir que a cada minuto transcorrido, o movimento do avião resulta num deslocamento de 5 km na direção x (para Leste) e 8 km na direção y (para Norte). A partir destes dados podemos completar a tabela dada como é mostrado a seguir. Repare que todos os pontos ( x , y ), desta tabela, pertencem a reta que descreve a rota seguida pelo avião.

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]
[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]
[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]
[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]
[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]
[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]
[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

(f) Pelos dados apresentados é possível deduzir que x = -12 + 5t .

(g) Pelos dados apresentados é possível deduzir que y = -30 + 8t .

(h) Substituindo-se t = 3 nas equações deduzidas nos dois itens anteriores ou, simplesmente, olhando a tabela completa no item (e), é possível afirmar que 3 minutos após o início do monitoramento, o avião estará sobrevoando o ponto de coordenadas (3, -6). Estas coordenadas significam que, neste instante, o avião estará sobrevoando um ponto localizado 3 km a leste e 6 km ao sul da torre de controle.

(i) Pelo item (c), sabemos que a imagem do avião desaparecerá da tela do radar quando ele atingir o ponto de coordenadas (25,5; 30). Usando ou a equação obtida no item (f), ou a equação obtida no item (g) é possível calcular em que instante o avião estará sobrevoando este ponto. Para isso, basta resolver qualquer uma das equações 25,5 = -12 + 5t ou 30 = -30 +8t. Em qualquer dos casos o resultado encontrado é t = 7,5 minutos, que é o tempo necessário para que a imagem do avião atravesse a tela do radar.

(j) Veja a análise feita no texto.

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Funções Paramétricas: Domínio e Imagem



(a) -3 £ t £ 1

(b) -2 £ t £ 3

(c) -3 £ t £ 3

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(a) Primeiro Quadrante:

1 < t < 2

(b) Segundo quadrante:

2 < t < 3

(c) Terceiro Quadrante:

-3 < t < -2

(d) Quarto Quadrante:

-2 < t < 1




Parametrizando Funções

(a) x = t ; y = t2 + 8 para-2 £ t £ 2.




(b) x = t; y = -10t2 + 5t + 75, para 0 < t < 3.




O Passeio no Parque

(a) Trajetória de Adriana: x = 0,177 (t - 10) e y = 5 - 0,177 (t-10).

(b) Trajetória de André: x = 5 - 0,354 (t - 20) e y = 0,354 (t - 20)

(c) Nos três casos a equação cartesiana do movimento é dada por y + x - 5 = 0. A diferença nos três movimentos está na velocidade com que o caminho é percorrido por cada um dos corredores. Esta informação não pode ser obtida por meio da equação cartesiana do movimento.

Combinação Linear

Devemos achar duas constantes reais a e b tais que z = av + bw, isto é, devemos achar a e b tais que

< 4, 2 , - 6 > = a < 1, - 2, 1 > + b <0, 1, - 1>.

Como dois vetores são iguais se e somente se as suas coordenadas são iguais, da igualdade vetorial anterior obtemos as seguintes igualdades:

4 = a
2 = 2a + b
- 6 = a - b
Este sistema de três equações com 2 incógnitas não tem solução pois a terceira equação é incompatível com as outras duas. (Observe que da primeira equação obtemos a = 4. Substituindo este valor na segunda, obtemos b = -6. Substituindo-se, agora, estes valores na terceira equação obtemos a igualdade - 6 = 4 + 6, que é falsa.) Neste caso, o vetor z não pode ser escrito como combinação linear dos outros dois vetores dados.

Exercício 1

(a) Como o objeto se move em linha reta, em todos os casos trata-se de determinar a equação da reta que passa pelos dois pontos dados. Assim, temos:

(1) 5y = 3x + 22

(2) y = -x + 18

(3) 3y = -2x -1

(b) As equações paramétricas são dadas por:

(1)

x = -4 + 10/3 t
y = 2 + 2 t

(2)

x = -4 + 10/7 t
y = 22 -10/7 t

(3)

x = -5 + 3/2 t
y = 3 -t

Nos três casos, como o movimento começa quando t = 0, as equações são válidas para, t ³0, que é o domínio das equações dadas.

(c) Eliminando-se o parâmetro t, podemos recuperar a equação cartesiana a partir das equações paramétricas. Assim, temos:

(1) [Maple Math] que é equivalente a [Maple Math] e daí, obtemos como no item (a) [Maple Math] .

(2) [Maple Math] que é equivalente a [Maple Math] e daí, obtemos como no item (a) [Maple Math]

(3) [Maple Math] que é equivalente a [Maple Math] e daí, como no item (a), obtemos [Maple Math]

(d) Para calcular as coordenadas do objeto para t = 2s, basta substituir este valor de t nas equações paramétricas obtidas no item (b). Assim, temos:

(1) ( [Maple Math] )

(2) ( [Maple Math] )

(3) ( [Maple Math] )

(e) Para determinar o instante em que o objeto intercepta a reta y = 20, basta substituir este valor de y na equação paramétrica correspondente e calcular o respectivo valor de t. Assim, temos:

Exercício 2

(a) 4 y + 3 x - 6 = 0, cujo domínio é dado por -2 £ x £ 2 e a imagem por 0 £ y £3.

(b) x = -2 + 4 t e y = 3 - 3t, cujo domínio é dado por 0 £ t £1 e a imagem por -2 £ x £ 2 e 0 £ y £3.

Exercício 3

As equações paramétricas serão dadas por

[Maple Math]

[Maple Math]

para 0 £ t £ 10. Em [Maple Math] segundos, o objeto estará no ponto de coordenadas ( [Maple Math] ).

Exercício 4



(a) v = <2, 2 > e w = <1, -1 >. Os vetores v + w e v - w são as duas diagonais do paralelogramo cujos lados são formados pelos vetores v e w, conforme ilustra a figura ao lado.

Exercício 4

(b) O vetor 2v.

Exercício 5

(a) u + v = < -2, 3, 1>.
(b) u + v + w = < 0, 0, 0 >.
(c) 2u + 2v - w = < -6, 9, 3 >.

Exercício 6

Exercício 7

Problema 1

(a) O vetor nulo.

(b) O vetor das 10 horas.

(b) A metade do vetor das 7 horas.

Problema 2

Existem duas possibilidades para o quarto vértice, a saber, os pontos de coordenadas (4, 0) e (4, 4), como ilustra as figuras abaixo.

Problema 3

O vetor diretor da reta L1 é v1= < 6, 9, 12 >. O vetor diretor da reta L2 é v1= < 4, 6, 8 >. Dessa maneira, como v1 e v2 têm a mesma direção pois v2 = 3/2 v1, as retas são paralelas.

Problema 4

(a) O vetor diretor da reta é < 2, 3, -7 >. A equação da reta na forma simétrica é x/2 = (y - 2)/3 = - (z + 1)/7.
(b) Interseção com o plano xy: (-2/7, 11/7, 0); interseção com o plano yz: (0, 2, -1); interseção com o plano xz: (-4/3, 0, 11/3).

Problema 5

(a) Vetores diretores das retas: v1 = < 1, 1, -5 >, v2 = < 1, 1, -1 >, v3 = < 1, 1, -1 >, v4 = < 2, 2, -10 >. Dessa maneira as retas L1e L4 pois seus vetores diretores têm a mesma direção. Da mesma formas as retas L2 e L3 também são paralelas.
(b) Na realidade as retas L1e L4 são coincidentes. Para chegar a esta conclusão, repare que os pontos A1(1, 0, 2) e A4(2, 1, -3) que pertencem, respectivamente, às retas L1 e L4, determinam o vetor AB = < 1, 1, -5 >. Dessa maneira, as retas L1 e L4 coincidem, pois os dois pontos A e B estão sobre uma mesma reta cujo vetor diretor é igual ao vetor diretor de L1 e L4.

Eliminando o parâmetro

A equação cartesiana é [Maple Math] que é a equação de uma parábola.

Identificando retas

(a) As retas são reversas.

(a) As retas são paralelas.

(a) As retas são concorrentes. Ponto de interseção (2, 1, 3)

Viajando pelo espaço

(a) Equações paramétricas: x = 9,96t e y = 4,98t + 14,7 ´ 107

(b) 75,67 ´ 107 horas